858 MATTEO BOTTASSO 



Dopo ciò, dall'ipotesi bi" = 0, cioè GcItx^Q (perchè - -'- 0), 

 segue subito (n. 2) il teorema enunciato. 



Osservazione. — Questo teorema, dovuto a Dupin [Appli- 

 cations de Geometrie et de Mécanique, Paris, 1822) è uno dei teo- 

 remi fondamentali della teoria dei galleggianti, ove il piano tt 

 si chiama piano di galleggiamento ; la sezione cr si dice sezione 

 fluttuante : il solido S (di volume costante t;) si dice carena; la 

 superficie inviluppata da tt (luogo dei punti G) si dice superficie 

 fiuttuante, ed alla superficie luogo dei baricentri C delle carene si 

 dà il nome di superfìcie dei centri di carena. 



Col calcolo vettoriale si possono pure dimostrare molto fa- 

 cilmente tutte le altre proprietà fondamentali di tale teoria. 

 Ad esempio, si vede subito che: il piano tangente in un punto C 

 della superficie dei centri di carena è parallelo alla sezione flut- 

 tuante corrispondente (Cfr.. per es., F, Caldarera, Corso di Mec- 

 canica razionale, voi. 3", Palermo, 1906, pp, 149-150). 



Infatti, se C-]-dC è il centro della carena S-\-dS stac- 

 cata dal piano tt -f- dn, Ci, Co sono i baricentri dei solidi (infi- 

 nitesimi ed unghiformi) di eguale volume di, staccati rispetti- 

 vamente in S-j-dS da tt ed in 8 da n -\- dti, si ha 



V (C + dC) = oC^dT (Ci — C2), 



ossia cdC=dT{Ci — 62), la quale esprime che il vettore dC è 

 parallelo al vettore (finito) C^ — Cg, che appartiene (a meno di 

 infinitesimi d'ordine superiore) al piano tt. 



13. — Se il piano tt si muove in guisa che risulti costante 

 l'area piana O limitata dall' intersezione di tt colla, superfìcie data Z, 

 il punto di contatto del piano tt colf inviluppo da esso descritto è 

 il baricentro della linea s (che limita o), supposto che la densità 

 in ogni punto di questa linea sia proporzionale alla cotangente 

 dell'angolo che il piano tangente alla superficie Z in quel punto, fa 

 col piano TT. 



Sia P un punto qualunque del contorno s, p l'angolo (acuto) 

 formato da tt col piano tangente in F alla superficie Z. 



Se si immagina ribaltato il piano n -{- dn sul piano tt (fa- 

 cendolo rotare intorno all'intersezione dei piani tt e tt + dn) il 



