896 GUIDO FDBINI 



I teopemi di Bernsteìn e Pringsheim 

 per lo sviluppo in serie di Taylor. 



Nota di GUIDO FUBINI. 



In una notevole Memoria del tomo 75 dei " Mathem. An- 

 nalen „ il Bernstein trova sotto forma molto elegante le condi- 

 zioni necessarie e sufficienti per la sviluppabilità di una funzione 

 in serie di Taylor. Volendo esporre tali risultati in un corso di 

 analisi, mi sono accorto che la dimostrazione del Bernstein può 

 forse dar luogo a qualche dubbio; perciò in questa Nota mi 

 permetto riprodurre tale dimostrazione con metodo immune da 

 ogni obiezione, tanto piìi che se ne deduce, tia l'altro, col me- 

 todo pili semplice anche il classico risultato del Pringsheim. 



Teorema 1" (Bernstein). Condizione tiecessaria affinchè f(x) 

 sia sviluppabile in serie di Taylor nell'intervallo < x <;^ R è 

 che f (x) sia in tale intervallo differenza di due funzioni cp^ (x) 

 e ^>2 (x)» '^^^ *^* sono non negative insieme a tutte le loro dev'ivate. 



Infatti, se f{x)=^'^a„x'\ si può indicare con cpi (.r) [con 



— (Pa (^)] rispettivamente la somma di quei termini della nostra 

 serie, che hanno coefficiente positivo [ner/ativo] : oppure porre 



«Pi (^) — S I «» I ^'\ qp2 (•») = S ( ! «n I — «n) x". 



Teorema 2° (Bernstein). La precedente condizione necessaria 

 è anche sufficiente. 



Sia infatti qp (ar) una funzione positiva in < ic <C -R con 

 tutte le sue derivate. Se <Ch <C R, nell'intervallo h-^x<iR 

 si avrà 



cp'"' (or) ^ (p'"* (/«) (perchè qp*^^' > 0) , 



