I TEOREMI DI BERNSTEIN E PRINGSHEIM, ECC. 897 



donde, integrando 



(p'" " U) > qp'"-" (.r) — qp'"-" (h) >{x — h) q)"' {h) 

 cp^"-*' (x) ^ cp "-^' (x) - cp-'' {h) ^ *-'-" '"' (p- [h] 



cp"W > ^^^—^«P'-'W. 



Cioè, posto =6. dove 9 è compreso tra ed 1, sarà: 



Posto 



■?'"'(e.r)=£^JS^;«-2, 



<D„ (e. .t) = X" - — ?'" ' <p'" re x) . 



n — 1 



si ha {Cauchy) che (per un valore, generalmente ignoto, di O) 

 la 0„ (6, x) rappresenta il resto della serie di Taylor relativa 

 alla funzione q> {x). Ora, per il nostro risultato, 



O, (9, x) <. x'- qp" (x) ^^ 



n — 1 



e tende per n = ce a, zero (ciò che basta ad assicurare la svi- 

 luppabilitk di (p (x) in serie di Taylor). Essendo qPi(.r). qp.2 (j;) 

 sviluppabili in serie di Taylor, altrettanto avverrà di 



f{x) = (pi{x) — <p,(x). 



Anzi il resto della corrispondente serie di Taylor, scritto 

 nella forma di Cauchy, sarà uguale alla differenza tra le 4>„(9, x) 

 corrispondenti a qpi (x) ed a qpa (j:")- 



Tale resto di Cauchy sarà dunque minore di 



x^ -— — - [qpi" {x} + (Pa" (x)] < 



n — 1 



< ^ (1 _e),'(pi"(r)-fcp2"(r)| heX^r<R) 

 n — 1 



