898 GUIDO FUBIXI — I TEOREMI DI BERNSTEIN E PRINGSHEIM, ECC. 



convergerà pertanto uniformemente a zero, quando x varia in un 

 qualsiasi intervallo < x < r, dove r <^ R, e 6 varia arbitraria- 

 mente nell'intervallo (0, 1). 



Questo è il teorema di Pringsheim. 



A questi teoremi si può anche dare una delle forme se- 

 guenti : 



1° Se f (x) è positiva o nulla per x ^ insieme a tutte le 

 sue derivate, essa è sviluppabile per x > in serie di Taylor 

 nel massimo intervallo < x <;^ R, dove essa e le sue derivate non 

 sono negative, e soltanto in tale intervallo (cosicché se i2 = , 

 la f{x} non è sviluppabile in serie di Taylor). 



2° Condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione 

 f (x) sia sviluppabile in serie di Taylor nell'intervallo < x <; R 

 è che si possa trovare una serie di potenze ^ (x) tale che f(x)-|-ip(x) 

 sia jyositiva con tutte le sue derivate in tale intervallo (o, ciò che 

 è lo stesso, che converga quella serie — q> (x) ottenuta dallo 

 sviluppo formale di f{x} in serie di Taylor sopprimendone i 

 termini a coefficienti positivi, e che f{x) -{- cp (x) sia nell'inter- 

 vallo <x <C R non negativa con tutte le sue derivate). 



3" Condizione necessaria e sufficiente affinchè f{x) iiou .sm 

 sviluppabile in serie di Taylor in alcun intorno destro del punto 

 X = 0, è che. scelto ad arbitrio un polinomio o una serie di po- 

 tenze p (x), in ogni intorno destro del punto x = cadano infiniti 

 punti, ove almeno una delle derivate di f (x) -|- p (x) o non esiste, 

 non è positiva. 



4** Se f (x) è nulla con tutte le sue derivate per x = 0, e 

 se essa e le sue derivate sono non negative per < x <^ R, la f (x) 

 è identicamente nulla in questo intervallo < x <C R. 



