UN TEOREMA DI ESISTENZA PEK EQUAZIONI INTEGRALI, ECC. 013 



risolvendo il problema di rendere minimo 



\l\l\lK{x,i/,z){fx)if!^)ifz)dxd!fdz 

 colla condizione 



\\fxrdx=i. 



Jo 



Un teorema generale sulle successioni di funzioni dato dallo 

 stesso Autore (ma di cui egli non aveva fatto uso), mi ha per- 

 messo di dimostrare l'esistenza di una funzione qp che rende 

 minimo o massimo 



(1) I ... F{xi ... r,.) ((p.ri) ... {(pxr) dx^ ... dxr 



Jo Jo 



e di una che rende massimo 



(2) VI ... I Fi (.ri ... X2i) (qp^i) ... (cparj.) dx^ ... dx,, 



^-^Jo Jo 



j {q)x) dx= \ . 



'1 ri 



J 



1=1 

 colla condizione 



in un modo che non manca, parmi, di rapidità e di eleganza. 

 Da questi risultati discende facilmente l'esistenza di una 

 soluzione per le equazioni integrali non lineari 



(3) Xcpx +1 ... ( F (.r, //i ... //,) ((p</i) ... (qpi/.) dy^ ... dy.. = , 



.'o Jo 



n 



(4) Xcpr+y \\.. f Fi{x,yi...yi,_i) ((p//i) ...(qp//:.-i)rf//i...c?yo._, = 0. 



—li .' J 

 /=1 



2. — Le funzioni ciie considero sono definite per tutti i 

 valori delle variabili compresi fra ed 1, i loro quadrati sono 

 integrabili (secondo Lebesgue), e gli integrali sono sempre estesi 

 da ad 1. 



Sovente scrivo Ifpdp invece di ] ...^ f {x^ ...x.) dx^ ... dx,., 

 indico cioè con p il complesso {xx,....x,). 



