914 GINO POLI 



Teorema. — Sia Ui, u^, ... una successione di funzioni dir 

 variabili, tale che j" (u^ p)'' dp ahhia un limite superiore finito H^. 



Esiste una successione Vi, V2, ... etc. contenuta nella prece- 

 dente, ed una funzione w, tali che J (wpj- dp esiste ed è < H^, 

 ed inoltre 



lim J ifj)) {v„p) dp = J (fp) [wp) dp 



qualunque sia la funzione f purché integrabile al quadrato (^). 



La w si dirà funzione qua si-limite delle v. 



Sia <PiX, <P2^, ••• un sistema completo di funzioni ortogonali 

 normali nell'intervallo 0'"'!; cioè: 



^ {(PixY dx=l ; ^ {(PiX) {cpnx) dx = , i^h. 



La Un, è individuata dalle sue coordinate in questo sistema, 

 cioè dai valori delle costanti 



(1) rt^, = a^ (i, , Ì2, ... i) = l\...^ Un {Xi,X2, ... X,) ((p.,Xi) {(pùX^) ... 



... (cD,,.x,.) dxi ... dx,.. 



L'insieme dei complessi i = {ii, io, ...ir) può esser posto in 

 corrispondenza biunivoca coi numeri interi, e quando questo si 

 supponga fatto una volta tanto, posso indicare le coordinate 

 di u,i con bnh dove A è un intero. 



Ciò posto, quando n tende ad 00, b„i ha un limite superiore 

 d' indeterminazione finito pi {^). Cioè dato n esiste un ni > w 

 tale che 



(2) iè„i-p,|<l'n. 



Chiamo Vi,.„ quella u,„ soddisfacente alla (2) in cui tn è mi- 

 nimo, e di^n.ii le rispettive coordinate; quindi qualunque sia n 



(3) K.,L — PiKi.^. 



(') Gir. G. FoBiNi, loc. cit. La prima parte della dimostrazione seguente, 

 cioè la dimostrazione dell'esistenza di una successione di m le cui coordinate 

 tendono a limiti finiti e determinati, è affatto originale. Essa non fa uso del 

 postulato di Zermelo. La seconda parte invece è calcata su quella del 

 Prof. Fubini. 



(2) Poiché S b,J = J iunpf dp < H-. 



