UN TEOKEMA DI ESISTENZA PEK EQUAZIONI INTEGRALI, ECC. 015 



Analogamente lo '/,„,, hanno un limite superiore d'indeter- 

 minazione Pa, e dato n esiste un m^n tale che 



(4) |rf,™8-P..|<l " 



e chiamo tv,,^ quella /'i.,„ che soddisfa alla (4) in cui ni è mi- 

 nimo, e ds,^.,, le sue coordinate. È chiaro che 



\di,n,i — PjK In 

 e 



I (^2,n,i — Pi I = i c?i.m,i — P, |< 1 m < Ijn. 



In generale, supposto definiti r,,^ e d,_^j, e avendo 



(5) |rf,.,,,,-P,|<l/w (i<r) 



osservo che (i^,.,,v,r-i ha per n = oo un limite superiore d'indeter- 

 minazione Pr+i , pel quale, dato n esiste un m > n tale che 



e chiamo tv+i,*» quella iv,,„ che soddisfa alla (6) e per la quale 

 m e minimo, e c?r-^i,«,;< le sue coordinate. K chiaro che 



\dr + l.n,r^l — P,.+l|<l'«, 



e anzi in virtù di (5) 



(7) |(^,.^,,,,,-3,|<1 n (i</-+l). 



Così restano definite per induzione completa le funzioni 

 tv ^ (r. n = 1. 2. ...) estratte dalla successione data dalle u, e i 

 numeri P, (r ^ 1, 2, ...) legati alle coordinate delle o dalla (7). 



Pongo ora '^=r„,„, B,,,u = d^.n.u- La (7) dà 



Dunque, qualunque sia h, 



lim B„,n = P/. . 



