UN TEOREMA DI ESISTENZA PEK EQUAZIONI INTEGRALI, ECC. Oli.) 



quindi 



(7) \I<r=L. 



Ma se pongo 



wp 



j {7vp)' dp 



ho J' {npy- dp = ì e 



\Iu\= ''"'' ^ 



jiwpfdp j(wp)dp ' 



onde non potendo | In \ superare L e tenendo presente la (6). ho 



^{irpY di)= 1. 



Cioè i(> appartiene ad U e quindi la (7) dimostra l'esistenza 

 del massimo di [ /| . 



E chiaro inoltre che in virtù dell'osservazione fatta in fine 

 al n. 2, il ragionamento precedente resta valido quando U sia 

 l'insieme delle funzioni u della forma 



up = u {xi ... x,.} = (cpri) (qpa^a) ... {(px,.). 



Cioè che fra le funzioni qp di una sola variabile tali che 

 l (cpx)- dx = l. ne esiste una y^ che rende massimo o minimo 



(8) /qp = J ...^f{xi ... X,.) (qpari) ... (p (x,.) dx^ ... dx,. . 



La funzione ip ora definita soddisfa ad una equazione inte- 

 grale non lineare. 

 Pongo 



(9) cp = \ip^^X. 



dove X è una funzione arbitraria. La condizione 



(10) I {(px)' dx = \'-i- 2Xm J i^vx) ixx) dx + m- f (X-r)^ dx = 1 



determina X in funzione di |u in un intorno di )a = e per modo 

 che per ^ =: u . X = 1 , qp = ly. Dunque 



/qp = /(Xvj; + MX) 



