i)20 GINO POLI 



è una funzione di m che ha un massimo o un minimo per ^= 0, 

 perciò 



Posto per brevità 



(12) 7((Pi 92 ••• ^.) = I ••• jYC^i ■•■^r) (cpi Xi) (qpa^Ta) ...{(PrXr) dx^ ... dx^, 



e supposta la f{xi...x,.) invariante per sostituzioni circolari 

 sulle X (^), trovo 



(13) i(Xvp + MX) = >^"^(H>-M^) + >'>^"~'M/(X,H>..vp) + ...+ M"/(x,-X), 

 e osservando che dalla (10) ho 



risulta 



(15) (^) ^^= - i (vi; ... rv) J (i|;^) (xx) dx + ^(X, vp ... H>) = , 



ossia 



J" X- [ j . . . j /■ (2;, a^i , .. . a-,_,) (M^a?i) . . . (vpa;,_,) f^a?! .. . r;.r,_i — L ip^] c?2 = 0. 



Dall'arbitrarietà di x deduco 



j ...^f{z,Xi, ...Xr)i^fXi) ...{yvx,_i)dxi ...dxr-i = L\\)z. 



Posso dunque enunciare il teorema: 



Se i è una funzione di r -|- 1 variabili, integrabile al qua- 

 drato, esiste almeno un valore reale del parametro X pel quale la 

 equazione integrale non lineare in q) 



(16) Xcpj? -f- j ...if{x. //i, ... //.) (qpyi) ... (cpy,.) dg^ ... dy,. = 

 ammette una soluzione diversa da zero. 



(0 Questa ipotesi non è restrittiva. Potrei supporre ancora le f qua- 

 lunque, e troverei che la vp soddisfa ancora ad una equazione integrale in 

 cui invece di f compare un nucleo formato con essa e che gode dell'inva- 

 rianza per sostituzioni circolari. 



