U.V TEOREMA DI ESISTENZA PER EQUAZIONI INTEGRALI, ECC. 921 



4. — Sia ancora U l'insieme delle funzioni qp di una va- 

 riabile reale tali che J' (qpx)^ rfa- — 1 e consideriamo l'espressione 



(1) Jqp = i: f... f F, {x, ....r,.) (cpr,) ...{(pr„) d.r, ...dx^, = i: /,<?, 



1=1 ■ * 1=1 



dove le F, sono tali che /, qp ^ qualunque sia la qp (anche 

 non di V). 



Generalizzando il metodo del n. 3 si dimostra l'esistenza 

 di un massimo di Ju in V. Anzitutto, posto 



(2) J ... J" \Fi [x, ... x,.)'\' dx, ... dr,i = Hi\ 



applicando la disuguaglianza di Schwarz ad ogni singolo Z^q) 

 {(p essendo in V) e sommando, trovo 



(3) J(p<Ì:/f., 



«=i 



quindi è finito il limite superiore L di Jqp. 



Scelta allora una successione qPn in l\ tale che 



(4) lim ./qp„ = L , 



esiste una successione Xn contenuta in essa, che definisce una 

 funzione quasi-limite ip. Cioè si avrà 



(5) lim li x„ = /, m; ; J (vpj?)^ dx^l, 



e quindi per (4) 



(6) Jvjj = L. 



Dunque vp sarà precisamente la funzione massimante J se 

 appartiene ad U. Ora pongo 



m = J {\\i.Ty- dx q)x = ^ 



ed ho 



