992 CARLO ROSATI 



Utilizzando ulteriormente la interpretazione suaccennata, 

 introduciamo nella presente Nota il concetto di equazione mi- 

 nima cui soddisfa una corrispondenza T (§ 2), cioè l'equazione 

 che proviene dal minimo aggregato, costituito di potenze di T, 

 che dà origine a una corrispondenza a valenza zero. Siamo 

 perciò partiti da un teorema di Frobenius sulle forme bilineari, 

 del quale, in vista appunto dell'applicazione alle corrispondenze, 

 abbiamo dovuto procurarci una dimostrazione sintetica; e quella 

 che esponiamo al § 1, per la semplicità delle argomentazioni su 

 cui è poggiata, ci sembra debba offrire già di per se un qualche 

 interesse. 



L'equazione minima cui soddisfa la T ha per radici distinte 

 le radici distinte dell'equazione caratteristica dell'omografìa Q 

 immagine di T, e secondochè la prima ha radici semplici o 

 multiple, la Q è un'omografìa generale o particolare. Inoltre ogni 

 altra equazione cui soddisfa la T contiene come fattore l'equa- 

 •zione minima. 



Per le corrispondenze a valenza l'equazione minima è li- 

 neare, per la corrispondenza simmetrica dedotta da una invo- 

 luzione irrazionale di una curva l'equazione minima è quadratica. 

 L'equazione minima cui soddisfa una corrispondenza simmetrica 

 ha tutte radici semplici e reali, quella cui soddisfa una corri- 

 spondenza emisimmetrica ha tutte radici semplici, le quali, 

 tranne una eventuale radice nulla, hanno per valori numeri im- 

 maginari puri. 



Una radice razionale dell'equazione minima cui soddisfa 

 la T è necessariamente intera ; se t è una tale radice, esiste 

 sulla curva C un sistema regolare riducibile rispetto al quale 

 la T ha la valenza parziale — T- Sorge quindi spontanea la con- 

 siderazione delle corrispondenze, le cui equazioni minime hanno 

 radici tutte razionali. Tali corrispondenze si diranno plurioa- 

 lenti {*). e per esse si assegna una formula che dà il numero 



(*l Lo studio «li queste corrispondenze riesce tanto più attraente in 

 quanto un bel teorema di Severi ne mette in luce l'importanza che può 

 avere per la teoria delle superficie. Nella Memoria: Le corrispondenze fra 

 i punti di una curva variabile in un sistema lineare sopra una superficie 

 algebrica (' Math. Annalen „, Bd. 74, 1913), il Severi dimostra infatti la im- 



