994 CARLO ROSATI 



giungerà o ad uno spazio Gr-h^-h.. /i^,_, nel quale Q subordina 



un'omografìa singolare Q,_-i coi due spazi .S/,,^_i Crr-ht-h.^ /,,, 



non intersecantisi : ovvero ad uno spazio Gr-h,-h, /»,_, il quale, 



per essere contenuto nel suo coniugato 'SV^_, -i o con esso coin- 

 cidente, contiene come omografia subordinata Q,_i un'omografia 

 nulla, cioè un'omografia in cui il primo spazio singolare <S'/,^_i 

 coincide con lo spazio ambiente (rr-;,, a, -• /<,_,• In entrambi i 

 casi, estendendo una denominazione del Predella (*), diremo 

 che .S';,, -1 è per la Q uno spazio singolare multi pio di moltepli- 

 cità q, e che in esso sono venuti successirnmenfe a sovrapporsi (/li 

 spazi singolari 8/,.,-i. S/,--i. ... S/,,^ j. 



Determiniamo, nelle suddette ipotesi, gli spazi singolari 

 delle omografie Q^, Q^, Q*. ... successive potenze di Q. 



La Q può pensarsi come un'omografia non singolare fra la 

 stella (Sh^-i) di S^ e lo spazio G,—h,: in essa, ai punti di questo 

 spazio contenuti in /Sa,_i corrispondono gli 6'/,, della stella gia- 

 centi in un .S,,+;,,-i : «S'/.,-,/,,-i e Gr-h^-h. sono manifestamente 

 gli spazi singolari, primo e secondo, della omografia Q-. 



Per la Qj, che può pensarsi come un'omografia non sin- 

 golare fra la stella (S/,,_i) di Gr-h^ e lo spazio Gr-h^-h,. ai punti 

 di questo spazio contenuti in Sh^-i corrispondono gli Sh., della 

 stella giacenti in un S/,„a./,._i. Prendendo poi dei punti di questo 

 spazio gli S/,, corrispondenti per la Q nella stella (S/,, -i) si ot- 

 tiene un Sh,+ìi,+.hj~i: -Sa,-,*,-»-/.,-! e Gr-h,~h,-h, sono gli spazi sin- 

 golari della omografia Q'K 



Così proseguendo, si giunge nel primo dei due casi suaccen- 

 nati alla potenza Q'' i cui spazi singolari sono .S/,,+/,,4- ..4-/,^_i e 



Gr-hi-h. h^: e poiché la Q subordina in Gr-h^-u, h,^ una 



omografia non singolare, le potenze Q.''^^, fì'"^^ ... hanno per 

 spazi singolari quelli stessi di Q^ i quali saranno perciò fra loro 

 indipendenti. Nel secondo caso, essendo /ji + ^g-h- -\-h^ — l=r, 

 la Q' e quindi le potenze successive Qi^\ Q^^^. ... sono omo- 

 grafie nulle. Abbiamo dunque il risultato: 



•SV un'omografia singolare Q ha come primo spazio singolare 



(*) Hkedella, Le omografie in uno .■spazio ad un numero qualunque di 

 dimensioni. * Annali di Matematica „, 17 (2), 1889-90. Sulla teoria generale 

 delie omografie. ' Atti della R. Acc. di Torino ,. 27. 1891-92. 



