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è quella di grado minimo cui soddisfa la Q; si dirà breveinent'e 

 equazione mininm della Q. Fissato il modulo di Q. l'equarione 

 minima 14; (e) = cui essa soddisfa è determinata: se perei i 

 coefficienti del modulo stesso variano di un comune fattore, 

 l'equazione ip (e) =0 subisce manifestamente una trasformazione 

 a radici multiple. Sicché, data l'omografia, restano fissate non 

 le radici dell'equazione minima v(;(r)=0. bf'nsi i loro mutui 

 rapporti. 



10. — Teorema di Frobenius (*i. 



a) Ogni radice dell' equazione minima ^ (zj = " di un'omo- 

 grafia Q (singolare non) è radice dell'equazione caratkristica 

 di Q, e viceversa. Se vp(z) = 0, ha radici tutte semplici, la Q è 

 un'omografìa generale: se \|» (z) = Ó ha radici multiple, h Q è 

 un'omografìa particolare, ad ogni radice q*" corrispondendo «no 

 spazio fondamentah <f^^ di Q (nel quale cioè sono venuti succesn- 

 ramenfe a sovrapporsi altri q — 1 spazi fondamentali) : 



b) Se f (z) = è una qualsiasi equazione cui soddisfa la Q. 

 dorrà essere f (z) divisibile per ip (z). 



Supponiamo dapprima che l'equazione vpul = abbia ra- 

 dici tutte semplici TiT2---T;. senza escludere che una di esse 

 possa anche esser nulla. Alla relazione m; (Ql ^ <» può allora darsi 

 la forma: 



(1) «0 (^ — Ti /) (Q — Ti/1 ... (Q — T, 7 I = ". 



la quale dice che il prodotto delle omografie Q — T: /, 

 Q — T2 /. ..., ^ — Ti I ^ un'omografia nulla. È facile ora provare 

 che ciascun fattore del prodotto è un'omografia singolare non 

 nulla. Si osservi infatti che le omografie stesse sono due a due 

 permutabili (n. 7): se quindi Q — ri fosse un'omografia non 



(*| Cfr. la Memoria di Frobenius: l'cber ìitnart .<ut'-sTìTinto*i<'^i ui,a w/»- 

 neare Formen (* Jouraa] far die reine and angevandte Maibematik ^. Bd. ^-4. 

 1878j, in cui il teorema è dimostrato fa.ceDdo ■uso di uno friluppo in serie. 

 Una dimostrazione, in cui viene evitato tale Bviluppo, trovafi nella Me- 

 moria dello stesso autore; Ceber verta ufìchbart Matriren, * SitEon^bericiile 

 der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenscliaften zu Berlin ,, 

 XXYl. 1896. 



