SULLE COKRISPONUENZE PLUUIVALENTI FliA I PUNTI, ECC. 9{d 



singolare, il prodotto contenuto nel primo membro della (1) ri- 

 marrebbe un' omogratìa nulla anche sopprimendo il fattore 

 Q — f, / (n. 6, e), contro l'ipotesi che sia \\i (z) = l'equazione 

 minima cui soddisfa la Q. Se poi fosse Q — y,/^0, sarebbe 

 z — Ti = <> la suddetta equazione minima. 



Dicendo allora <S/,, . i , Sh.,-\ , ... Si,^_\ ì primi spazi singolari 

 di Q — fil,^ — T2 ^. ••• ^ — fi f^ pf^i" l'osservazione del n. 4 

 dovrà essere 



(2) r<^+/i2-f ...-f-/*, - 1. 



.Si osservi ora che, fissando nel fascio (Q, /) una qualsiasi 

 omogratìa non singolare Q, gli spazi suddetti sono fondamen- 

 tali per essa e corrispondenti a radici distinte della sua equa- 

 zione caratteristica; essi sono allora, per un teorema di Segre, 

 indipendenti, onde si avrà 



(3) >->Ai + A2 + ... 4-A. -1. 



Dal confronto delle (2) (3) si deduce l'uguaglianza 



r = /<, + /,2 4-... -f A, — 1 



la quale dice che Q è un'omogratia generale (singolare o non, 

 secondochò fra le radici Ti T2 ••• 'fj esiste o non la radice zero) 

 coi soli spazi fondamentali Sh^—i, Si,^-ì, ... S/,^ \ . 



L'equazione minima \\){z)^0 ammetta ora le radici Ti T2 •••T* 

 di molteplicità l^ I2, ... lu (^ = ^1 4~ h f ••• H~ ^h), una delle quali 

 può anche esser nulla. Alla relazione mj (Q) :e= si può allora 

 dare la forma 



(4) (^0 (^ - T, / )'■ {Q - T2 /)'-^ ...(«- T. 7)'.- = 



la quale afferma che il prodotto delle potenze con esponenti 

 ^1 I2 ... Ih delle omografie Q — Ti ^, S — T2 ^ •■• ^ — Tk A fia loro 

 due a due permutabili, è un'omografia nulla ; e dalla relazione 

 medesima, con le argomentazioni addotte nel caso precedente, 

 si deduce che Q — t, / {i = 1,2, ... le) è un'omografia singolare, 

 non nulla. Ma si può ora provare di più che il suo spazio sin- 



