SULLE COKKISPONDENZE PLURIVALENTI FKA I HUNTI, ECC. 1007 



15. — Dimostriamo ora il seguente teorenia: 



Ij'equazinne minima di una corrispondenza simmetrica am- 

 mette radici tutte semplici e reali, quella di una corrispondenza 

 emisimmetrica ammette pure radici semplici, le quali, tranne una 

 eventuale radice nulla, sono numeri immaginari puri (due a due 

 coniugati). 



È noto (*) che la omografia Q. immagine di una corrispon- 

 denza simmetrica T. nasce molti[)li(ando per il sistema nullo 

 fondamentale A un sistema nullo razionale S che ammette gli 

 spazi a «0 come spazi totali. Poiché Q -f- p/ = 8A -|- p A^ = 

 = {S-|-pA)A, si deduce che le omografie singolari del fascio 

 Q 4" P ^ si ottengono moltiplicando per A i sistemi nulli singo- 

 lari del fascio <S-|-pA. e che quindi gli spazi fondamentali 

 di Q sono gli assi dei sistemi nulli singolari del fascio S'-j- pA 

 e gli spazi ad essi coniugati nell'omografia sono i polari dei 

 primi rispetto a A. Supposto ora che l'equazione minima ^[z)z=^{) 

 della corrispondenza T ammetta due radici complesse coniu- 

 gate p' Po', i due sistemi nulli singolari S -f- p' A, .S -j- Po' A 

 avranno per assi due spazi S^^), Sf^_i immaginari coniugati 

 appoggiati ad a a^ lungo spazi di dimensione q — 1. I detti assi 

 non hanno poi alcun punto comune, perchè tale punto, singo- 

 lare per due complessi distinti del fascio, lo sarebbe per tutti, 

 il che è assurdo non essendo A singolare. Gli spazi Sq-\ ^{S-2q-i,o), 

 sl,"l, ss {S^^'^^x , «o) sono immaginari coniugati ; congiungendo allora 

 un punto del primo col suo coniugato giacente nel secondo, 

 si ottiene una retta reale appartenente a tutti i complessi del 

 fascio S-\-^N. Poiché sappiamo che non possono esistere rette 

 reali del complesso A appoggiate ad a a© (**), si deduce che le 

 radici dell'equazione v|i [z] =: sono tutte reali. 



Sia ora p' una tale radice ed .S'2,,-1 lo spazio reale, appog- 

 giato ad a tto lungo due spazi 5,_i .«^"1, immaginari coniugati, 

 asse del sistema nullo singolare S -}- p'A. Lo spazio polare 

 di Sìq-x rispetto a A è un S'2ip-q)-\ reale appoggiato ad a Oq 

 lungo due spazi Sp-,_i sjTl^-i immaginari coniugati. E i due 

 spazi 'SV,_i S>ip^g)-\ sono indipendenti, perchè, se si interse- 



(*) Cfr. Corrispondenze, § 3. n" 6. ' 



(•*) Cfr. Corrispondenze, Osservazione a pie della pag. 16. 



Atti della R. Arrnd,-inin — Voi. LI. 65 



