1008 CARLO ROSATI 



cassero, la loro intersezione, che è lo spazio reale S21-1 con- 

 giungente gli spazi immaginari coniugati st-i = {sq-\ , Sp^ q-y) 

 sfli = (sfLi , sflq_i), sarebbe spazio totale di A, ed esisterebbero 

 quindi rette reali del complesso A appoggiate ad aa^. 



La Q, avendo gli spazi fondamentali indipendenti dai loro 

 coniugati, è adunque una omografia generale, e perciò l'equazione 

 minima \\) (z) = ammette radici tutte semplici (*). 



Si consideri ora una corrispondenza emisimmetrica T, di 

 cui Q indichi l'omografia immagine. Sappiamo (**) che la Q si 

 ottiene moltiplicando per il sistema nullo A una polarità razio- 

 nale P la cui quadri ca fondamentale cp contiene gli spazi aoo, 

 e la quadrica cp sarà specializzata non, secondochè 7' è spe- 

 ciale non speciale, cioè secondochè l'equazione minima y^){z) = () 

 di T ammette non la radice zero. E si osservi subito che 

 tale radice, quando esiste, è semplice per l'equazione ip {2) = 0, 

 perchè lo spazio singolare di Q che ad essa corrisponde non in- 

 terseca il suo coniugato (***), 



Ammesso che l'equazione \\) (z) = abbia una radice reale 

 p' =4= 0, si prenda un punto reale X nello spazio fondamentale 

 di Q corrispondente a quella radice; punto che, com'è noto, 

 dovrà essere esterno agli spazi a Qq. Poiché X è punto unito 

 in Q, non potrà appartenere all'eventuale spazio doppio della 

 quadrica qp, e dovrà avere lo stesso iperpiano polare £ nella po- 

 larità P e nel sistema nullo A. Ne segue che X dovrà giacere 

 in E e quindi su cp. e l'iperpiano E è tangente in X alla qua- 

 drica cp. Ma allora la retta reale uscente da X ed appoggiata 

 ad a ao giace su cp e quindi nell'iperpiano E ed è quindi retta 

 del complesso A, il che è assurdo. L'equazione \\> (z) =: 0, tranne 

 la radice zero, non può dunque ammettere radici reali. 



Si osservi ora che la corrispondenza T^, avendo per imma- 

 gine la omografìa Q- = (PAP)A che nasce moltiplicando per il 

 sistema nullo fondamentale A il sistema nullo PA P, trasfor- 

 mato di A mediante la polarità P, è una corrispondenza sim- 



(*) Il ragionamento fatto prova inoltre che l'equazione minima di una 

 corrispondenza simmetrica è di grado < p. 

 (♦*) Cfr. Corrispoudenze, § 3, n» 6. 

 (♦**) Cfr. Corris^pondenze, § 3, n» 8. 



