1010 CARLO ROSATI 



omologhi due punti di C appartenenti ad un medesimo gruppo 

 di 9. Indicando con G^ G^ i gruppi omologhi di un punto gene- 

 rico Al nelle corrispondenze T T^ e con AìA^^.A^, gli ulte- 

 riori punti del gruppo dell'involuzione 6 contenente A^, sarà 

 Gi = A2A3 ... An; e poiché il gruppo omologo nella T del 

 punto ^,(i = 2, 3. ...,«) è costituito dai punti Ai...A,_iAi,i...A,„ 

 si avrà manifestamente G2 = {n — 1) A^ -]- {n — 2) G^. Di qui 

 segue che la corrispondenza T soddisfa all'equazione quadratica 



(10) z^ — in — 2) z - - {n — 1) = 0. 



la quale ammette le radici intere — 1, {n — 1). E facile ora 

 provare che la (10) è l'equazione minima cui soddisfa la T. e 

 che quindi la T è una corrispondenza bivalente, con le due va- 

 lenze semplici 1, (1 — n). Invero, se l'equazione minima di T 

 fosse lineare, dovendo essa, in virtù del teorema di Frobenius, 

 essere un divisore della (10), la T dovrebbe essere o una cor- 

 rispondenza a valenza 1, ovvero a valenza (1 — n). Ma le due 

 ipotesi sono entrambe da scartarsi, perchè dalla prima segui- 

 rebbe Tt =: 0, e nella seconda la formula di Cayley-Brill darebbe 

 come numero delle coincidenze di T il valore d = 2{n — 1) — 

 — 2 [ti — 1) p, onde sarebbe p = l (*). 



Poiché, come è noto (**), gli integrali indipendenti di (7 che 

 danno somma costante nei gruppi dell'involuzione sono in nu- 

 mero di p — TT, ne segue che il sistema regolare riducibile ri- 

 spetto a cui la 7' ha la valenza parziale 1 è ccP-^-^ ; sarà 

 quindi 00"-' l'altro sistema, indipendente dal primo, rispetto a 

 cui T ha la valenza parziale (1 — n) {***). Il numero d delle 



(*) E noto (Severi) che le corrispondenze simmetriche sulle curve el- 

 littiche sono a valenza; si vede poi subito che tale valenza è efiettiva- 

 mente (1 — »), se la corrispondenza nasce da una involuzione ellittica di 

 ordine n. 



(**) Cfr. CoMESSATTi, Sulle serie algebriche semplicemente infinite di gruppi 

 di punti appartenenti ad una curra algebrica, " Rendiconti di Palermo ,, 

 Tomo XXXVI, 1913, § 4, n" 16. 



(***) Chiamando T la curva immagine dell'involuzione 8, il sistema 

 suddetto è quello che nasce dal sistema totale oo'^"" degli integrali di P 

 mediante la trasformazione di f in C. Si indichino infatti con »', r, ... Vjj. 



