\ 



QUESTIONI DI PUOBABILITÀ 1147 



Soluzione. — I casi favorevoli alla estrazione di un numero 

 pari sono soltanto le combinazioni di m oggetti a 2, 2. a 4. 4, ecc. 

 I casi favorevoli a un numero dispari sono le combinazioni di m 

 oggetti ad 1 ad 1. a :> a 8, ecc. Quindi il numero dei casi favo- 

 revoli alla estrazione di un numero pari di palline è dato dalla 

 somma dei numeri delle combinazioni pari. Evidentemente la 

 combinazione zero a zero è qui esclusa, dovendosi di necessità 

 estrarre un certo numero di palline. 



Similmente il numero dei casi favorevoli alla estrazione di 

 un numero dispari di palline è dato dalla somma dei numeri 

 delle combinazioni dispari. 11 numero poi dei casi egualmente 

 possibili è la somma di quelle due somme. 



Per avere queste due somme immediatamente ricorreremo 

 alle note relazioni 



..,) ( 2'"= l+(m)i-^0«)2 + ... + ('«)... 



( = 1 - (m), 4- (»,), + ... ± (;„)„ , 



che si ottengono ponendo a = 1 . h ^= ± l nello sviluppo di 

 (a + br. 



Addizionando le (2) si ha 



(3) 2'" = 2 + 2(m)2-f 2(m).4-... 



Isolando nel 2° membro il doppio della somma delle com- 

 binazioni pari C, e dividendo per 2, si ha 



Cp = 2'"-' — 1. 



Sottraendo la seconda delle (2) dalla prima, otteniamo 



. (4) 2- = 2[(,»)i-0")3 + ...], 



e quindi per la somma Cd delle combinazioni dispari 



C, = 2- . 



Il numero poi di tutte le combinazioni possibili è dato da 

 Cp -\- Ci, ossia è eguale a 



0»« — 1 _!_ O»"-! 1 ;;^ O"^ 1 



