liADICI DI NDMElil APPROSSIMATI, ECC. 1155 



Basterà dimostrare che la differenza fra 3° e P membro 

 dell'ultima relazione, sempre < 1/10""^*; anzi ^ I/IO""*"*"*^*, nelle 

 nuovo ipotesi della II. 



Ora, per la def. di ordine, 10^^ m ■< 10*^+'. E sta inoltre 

 la: l<V,.a<10'": equivalente alla ipotesi: 1 < a < IO" (*). 

 IXinque, quella differenza : 



sempre < 1 [10" X 10' X 1] , cioè di 1 10"+^ 



come „ > 1;[10" X 10"+' X WIO"')'"-'] , „ l/10"-^'=+'". 



Essa inoltre < 1 10"+*^', quando, essendo i uno degl'interi 



dalam — 1, 10'+'<m X l'CV^a)'"-', cioè (V,a)"-'^(10'=+7m)'". 

 Cosi le I e II son dimostrate. 



2. Prima quistione. — "me un intero maggiore di 1, e n 

 è un intero; e di una quantità positiva a si conosce il valore V„a 

 con n decimali. Che cosa si può dire, a priori, dell'approssima- 



zione di ] (V^a) rispetto a Va? „. 



Risposta. — Vedila nel n. lo. quando però si supponga 

 che l^a<C10'", cioè che 1 < V.^a << 10"*. A ciò possiamo 

 sempre ridurci, spostando, nel dato valore V«a, il punto deci- 



(*) Ecco una proprietà elementare del simbolo E : 

 a) aeQo . /"eNo . : a < /^ . = . Ea < f ; 



cioè : ■* sono equivalenti le due relazioni « < f ed Ea < f, nell'ipotesi che a 

 sia una quantità positiva o nulla, e /" un intero „. 

 Per conseguenza: 



hj «€Qo./-€No.O:/'<rt- = ./'< Ert. 



Da a) e b) si deduce la proposizione ora applicata nel testo: 

 e) a€Qo . f, f, meNo . 3 : f ^ a < f. = . f ^ V,„« < f. 



Appresso servirà la proposizione più generale: 



d) aeQo . «cNo . f, /"eNo 10" . wj€« + N„ . D : /• < a < /" . = . ^ < V„.« < f. 



Così, per es., se « è una quantità, la S'H^a^SlG equivale alla 

 3-14 < Vjrt < .S-16, alla 314 < V^a < 3-16, ecc. 



