KAUICI DI NUMEKI APPROSSIMATI, ECC. 1159 



La III è comune nei trattati. Evidente quando f^=\a, si 

 ottiene, come è noto, ponendo in ogni altro caso r = /""" e 

 1/ = a — f" nel teorema della T' nota del n. 1 '4. 



La IV è enunciata, per es.. nella pag. 102 deìVAr-itm etica 

 generale e Algebra elementare di G. Peano, con una traccia di 



m 



possibile dimostrazione. Quando f<^\a, si può ottenere dal t.: 

 " se X e 1/ sono quantità positive, e m e un intero maggiore di 1, 



ni m m 



]{x-\-y)>\x-{- i/\m X ]{x -f .«/)"'-'! (*) „ ; 



ponendo ancora 07-=/"'" e y — o — f". e poi tenendo conto della: 



]a<f+ÌO-\ 



La V è data nel " Formulario Mathematico „, per le radici 



quadrata e cubica. E, sempre quando /"<<]/«, si può ottenere 

 dal t. : '' se x. ij e z sono quantità positive, e in e un intero 



maggiore di 1, e se y <i{V x -{- z)"' — x. allora 



m m m 



V (^ + y) > VX + ^!/i[{Vx + zr - x] {**) „ ; 

 ponendo x = f"', yz^a—f^, e z= Kr". 



(*) A differenza del t. della 1' nota del n. 1 "4, la dimostrazione ele- 

 mentare di questo è alquanto riposta. Si può, per es., procedere come 

 appresso. 



m 



Moltiplico per i ^x -\- //)"""'. e sarò ridotto a dimostrare che 



m 



r -\- Il '^ \x{x -\- y)"'~^ -^ ylm ; 



cioè, trasportando ylm ed elevando a potenza m, che 



[x -\- {m — 1) !//m]"' > x{x-\-y)"'-K 



.Scambio i due membri, e aggiungo y{x-\-y)^~^. Dovrò dimostrare che 



(ar 4" y)"*, ossia ][x -\- {m — \) ylm] -\- y'm\"', <i[x -\- (m — \)yim]-\- y(x-\-ìjy"~^. 



Ora quest'ultima si ottiene ponendo a = a- -|- (m — 1) y/w e b = ylm nel 

 noto t. : * se « e ft sono quantità positive, e m è un intero maggiore di 1, 



(a + br < «'" +/«(« + 6)"—^ h , ; 



che si può dimostrare per induzione rispetto a m. 



m m 



(**) Questo t. si ottiene ponendo a = ^x,b = zy [i\x-\-z)'" — x], & c = :. 



