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allora la VI, ponendo /"= 1. Il numero y, che (v. fine di 6*2) 

 =V»„[(/"4-a/) 2], diventa Vj„ i(l-|-a) 2j: e si ha quindi la VL (*). 



Xla-XIIL, Faccio le ipotesi della VL : e. nelle XI, XII e XIII, 

 pongo : f=ì, g = V,„\{a^ l)/2] , rj = 10°" V,„ a = E (lO'^" «), 

 r = rest[E(10'"a), 10"], e ^ = rest (lO'".^, 10"); osservando che 

 certamente V„a non = 1 -f 2/10". perchè V,,a<a, che. per 

 ipotesi. < 1 4- 2/10". Avrò le XL . XIL e XIIL. In quest'ul- 

 tima, al posto di rest [E (10-'"a), 10"] X 10"+ rest [EiWa], 10"], 

 abbiam potuto scrivere rest [E (10^"a), 10^"]; perchè chi prende 

 il numero formato dalle ultime n cifre di E(10*"a), e lo molti- 

 plica per 10". e aggiunge il numero formato dalle ultime w cifre 

 di E(10^"a). ottiene il numero formato dalle ultime 2n cifre 

 di E (10*" a) (**). 



"4 Esempi. 



\f>, n=^l; e «6115.... e. in particolare, =115. Dimo- 

 doché (j= ro7. 



La Xla dà, immediatamente, che V2(ia) = r07, cioè che 

 Va€l07... 



2°. ?/ = l. e aeri47... Dimodoché ^=107. 



La 2* cifra decimale di a è pari : r = cifra seguente = 7 ; 



e 2; = ultima cifra di 107 = 7. Dunque, per la XII», vael"7... 



S»^'. n=ì, e rteri46... Dimodoché g =^ 1"07. 



La 2^ cifra decimale di a è pari; ?- = 6; e z = 7. Applico 



allora la XIIL. L'intero formato dalle 2 cifre decimali di a che 



(*) Nella Via, si può, all'ipotesi su a, sostituir, per es., la più ampia: 

 «el^(l-^2-8XlO-"j. 



Sempre infatti 

 (1 ) \(i < ic + l)/2 , 



perchè (a + l)/2 =^]a-\- i\'a — If, 2 . 



Ora la (1) dà che Va-1 <(a-l)/2: e quindi che i]a-lf/2<(a-lf,S: 

 e, per conseguenza, < 1/10*", se, come supponiamo, r< < 1 — - 2*8/10'*. Dunque 

 Va + (Va — 1)2 2 < Va + 1/10*" ; cioè 



(2) (a4-l)2<\«+l/10-". 



Dalla (1) e dalla (2) segue la tesi della Via Iv. la fine di 1 '2). 



(**) Si può aggiungere che Vo„ [v(l -f- 2 X IO"")] = 1 + 10- - IO"-". 

 Es.': Vl'2€r09...; \l-02e 10099...: U'002€ 1000999... 



