1184 LUCIANO DELLA CASA 



Questa è una definizione possibile del segno >>. 

 Tralascio di parlare della differenza di due grandezze omo- 

 genee, perchè troppo semplice. 



§ 6. 



Osservazioìie. — Nella teoria precedente delle grandezze 

 si parte dal concetto non definito di prodotto di una quantità 

 numerica per una grandezza, del quale prodotto si enunciano 

 le proprietà, e mediante esso si definisce il rapporto di due 

 grandezze omogenee e la loro somma e si dimostrano le pro- 

 prietà relative. Questa teoria si trova in G. Peano, Aritmetica 

 generale e Algebra elementare, 1902. 



Io ho sviluppato questa teoria dando forma esplicita alle 

 dimostrazioni e completando il sistema delle proposizioni. 



Questa teoria è la piìi semplice e la più rapida per chi 

 conosce tutta l'aritmetica, compresi i numeri irrazionali. Ma 

 essa non è l'unica, anzi sotto l'aspetto logico sarebbero forse 

 a preferirsi le teorie in cui si parte dall'idea di somma di due 

 grandezze: se ne enunciano le proprietà njediante proposizioni 

 primitive e si definiscono poi le altre operazioni. 



Questa ultima teoria ebbe illustri cultori, specialmente in 

 Italia: basti citare l'ultimo lavoro di S. Catania, fh-andezze e 

 Numeri (Niccolò Giannetta, Catania, 1915), il quale è ben noto 

 a tutti gli studiosi. 



Una teoria un po' meno nota è quella esposta da Edward 

 V. Huntington in " Transactions of the American Mathematical 

 Society „, tomo 8^ 1902, pag. 265. 



Ridurrò in simboli il sistema delle proposizioni primitive. 



Se a,b,c sono enti d'una classe di grandezze omogenee, si ha: 



1) a -\- beG 



2) a -t- b r^ = a 



3) {a + b)-tc = a + {b^c) 



\ l" a^b .=^ .'3^G r^x^ia = b-r 3-) Def. 

 ' ) 2^ a c^ = b .;) .a <^b .^ .a^b 



5) seCìs'G . ceG : xes .().'; ' X <^c ' ' 



a G r. a 3 [a? e s . 0.^ . a- ^ « : rt' e G . a' < a . . a .s n .r 3 (.r > a')] 



6j rt € G . . a G «-^ a- 3 (.r < a). 



