RAPPORTO DI GRANDEZZE ETEROGENEE 1 l'j l 



e per la definizione tii proporzionalità, ossendo l -j- b a una 

 quantità numerica : 



f{ai-h) = iì~\-ha)fa 

 = fa -l- {ha) fa 

 = fa^fb. 

 Viceversa : 



•4 M e tì . /"€ G F (Q u) :a,heQH. o„,5 . f{a + b}=fa -j-fh:^.fe proporz. 



" Se H è una grandezza, e se/" è una grandezza funzione delle 

 grandezze omogenee con u: e se comunque si prendono le gran- 

 dezze a e b omogenee con u, sempre si ha: f{a -\- h) ^=fa + fb, 

 allora f è una proporzionalità „. 



Una funzione f tale che comunque si prendano a e h, si ha 

 f{a-Tb)=^fa-\rfh, dicesi funzione distributiva rispetto all'ad- 

 dizione; anche semplicemente additiva {*). 



Trattandosi di numeri reali positivi e negativi, la questione, 

 che la proprietà additiva importi la proporzionalità, fu studiata 

 da Eulero; poi da Cauchy nel 1821, imponendo la condizione della 

 continuità della funzione; poi da Darboux nel 1880, supposto 

 che il limite superiore dei valori della funzione sia finito almeno 

 in un intervallo comunque piccolo (**). 



Ma non facendo altre ipotesi, la questione rimane insoluta. 



Però, nel nostro caso, la proposizione si può dinìostrare. 



Infatti, ponendo b = a, dall'ipotesi del "4 si deduce: 



f{2a) = 2fa. 

 Supponiamo che per un intero n si abbia: 

 f ina) = nfa , 

 allora, ponendo b = na. si avrà: 



f{a -f- na) = fa -p nfa , 



(*) F. Enriques, Fjes concept-i fondamentaux di la science, Paris, 1913, 

 pag. 139. 



(**) G. Pk.\no, " Formulurin Miithematico ,, edit. V. a. 1908. pag. 117-118. 



