RAPPORTO DI GRANDEZZE ETEROGENEE 1193 



e dividendo por fa. in virtù della stessa § '^ o : 



ìj'>f{xa) fa':>z', 



quindi /"(.r(/) f<t, che è minore d'ogni numero razionale y mag- 

 iriore di x, ed è maggiore d'ogni numero razionale z minore 

 li .»', sarà eguale ad j*: 



f{xa) fa = X 

 onde : 



f{x>() ^ xf(t. 



Questa proposizione è molto importante, perchè è spesso 

 più facile verificare la proprietà additiva, anzidiè quella che 

 ha servito per la definizione di proporzionalità, e che è in uso 

 in tutti i libri. 



Così, se n e h sono lunghezze, e se con '/ X ^ indichiamo il 

 rettangolo costrutto su esse, è facile il verificare che a X {f>-\- f')=^ 

 ''^ X ^ + f' X t; (Euclide. Libro II, prop. 1). Se ne deduce che 

 <i X b, considerato come funzione di è, è proporzionale a h. 



Parimenti, da " prezzo [a A- h) = prezzo a -J- prezzo b „. de- 

 duco che prezzo indica una proporzionalità. 



Nella proposizione '^ non è permesso di portare l'ipotesi 

 'leQit prima dei due punti. 



Così se a è una grandezza, e comunque si prenda la gran- 

 dezza omogenea b, sempre si ha f{a -\- b) =fa -\- fb, non segue 

 che /"sia una proporzionalità. Così se fx = x-^ sino;, sarà, qua- 

 lunque sia X. f{2n -\- x) = f{'2n) -\- fx senza che f sia la pro- 

 porzionalità. 



Questo teorema si trova pure in J. Tannery, Lfrons d'Aritìi- 

 métique théorique et pratique, Paris, 1900, pag. 447. 



Il prof. Michele De Fianchis nella sua Geometria elementare 

 ad uso dei Licei, 1909, pag. .'U3, fa uso della proposizione pre- 

 cedente per dimostrare i teoremi sulla proporzionalità fra gran- 

 dezze geometriche. 



Ma questi autori trattano diversamente il caso dell'irra- 

 zionale. 



