6 GUIDO FUBINI 



le b^Ui: d^U2: ..• : ò^u^ =^ dui : du2 : ... : du^ definiscono le geode- 

 tiche nella metrica definita dalla forma cp). Siano br^r^-rm un 

 sistema covariante ad m indici; e siano X^^, F,., , ..., Zr„ w si- 

 stemi controvarianti ad un indice solo. Posto : 



si ha 



1 — ir,- Or^r.i...r„ -^r^ Yr^ ••• -^r« ? 



+ S br^r<,...r„ d (Z^,) Yr, ... Zr„ -\- 

 + S ^ur«...r„ Xr-, d {Yr„) ... Zr„ 4- 

 + S ^nro...r„ Xr^ Yr^ ... d {Zr„). 



L'osservazione, a cui è dedicata questa breve Nota, è : 

 a) La formola elementare precedente continua a valere se 



alle - — br,r, r sostituiamo le derivate covarianti br.r, . r««, purché 



Ònt " 1 - m i 



contemporanemente alle dX, dY ... si sostituiscano i differenziali 

 controvarianti bX, bY, ecc. 



P) Si ha così il vantaggio che di è scomposto nella somma 

 di m -\- 1 addendi, ciascuno dei quali ha significato intrinseco 

 (indipendente dalla scelta delle variabili coordinate tir). 



t) Tale risultato vale anche se le X, Y sono differenziali 

 controvarianti di ordine qualunque delle u^. 



Così, p. es., se a; è una qualsiasi funzione delle u, val- 

 gono le: 



dx ^^ X,. bUr 



d^X = 2 X,. h'^Ur ~\- 2 ^rs dUr ò'^Ug 



d^x = 2! ^>- b^Mr -h 3 S Xrs dur b^ M^ -|- J] Xrst dUr du^ dut, occ. 



Così, p. es., se F ^'^b,.s durdu, è un'altra forma quadra- 

 tica covariante, posto 



b F = V 5^jj dùr dus dut , ò'^ F =^'^ h,.,^,^ dUr dus dup du^ , 



si trova: 



dF = 2'^KsdUr.ò^ih + bF 



d^F= 2 S brs b^u, b^M, + 2 S t>rs du, bhi, -\- 



-[- 4 ]2 brst dUr dut b^Us -\- S ^»-s( dur dus b^Ut -f- b*F, ecc. 



