I DIFFERRNZIALI CONTROVARIANTI 



Se F = (p , queste formole si semplifieano perchè è^st = 

 hF=b^F=0. 



Insomma valgono tutte le regole del calcolo ordinario, pure 

 conseguendo lo scopo indicato in p), oltre a quest'ultima sempli- 

 ficazione. 



Osservazione. — Nella teoria delle congruenze di rette si 

 presenta la forma /"= 2 a„ ò^?/,. ò^^^^ Che relazione passa tra /" 



eà i''= 2 «'•s ^^**r ^^Ws, ove i ò'^u,. siano i differenziali contro- 

 varianti relativi ad un'altra forma ^ =^ J] ó„ c?m,. c?Ms ? Indiche- 

 remo con i'*) i soliti simboli relativi alla g. Si noti anzitutto 



che 2 Yts «r 



= ct'pqr — a^rq — «(,.p (dovo «pj^ indicano 



le derivate covarianti di «^„, secondo g) formano un sistema 

 covariante a tre indici p, q, r (*). Ora: 



F=J: a,.s 



òHc.^j:,,{[^^')-[^^'))du,du, 



X 



X 



&'". + S... 



pq 



C: 



ì ì du„ du, 



p ^^<^q 



= f-\-^ i^ipqr — a^rq — «,, p) dUp dUg Ò^ M^ -|- Y , 



ove 





pq 

 r 



pq 

 r 



hk 



hk 



s 



dUp duq duh duu 



è una forma covariante del sistema delle cp, g. 



d dqr d apq 



ÒUp 



dur 



. Insomma 



(*) Basta osservare che 2 Jis | ars = ^ '" + 

 \ s I dUq 



le ( ) — Il formano un sistema, per cui diremmo quasi che r è un 



indice controvariante, p, q sono indici covarianti. Esso è un sistema misto 

 dello stesso tipo del sistema delle \ rs, hk [=J^p Asp{rp, hk), e di tanti 

 altri che si presentano negli studi di geometria proiettivo-diiFerenziale. 



