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q)oa; è sempre = 0, salvo che per x = 0, ove si ha . (poO = 1. 

 (PiX, che indico semplicemente con cpx, vale 1 per x positivo, 

 e vale per x negativo o nullo. 

 Si può porre per definizione: 



a? e n . 3 . epa; = cpi ,7; = 2 (qpo , ^ — Ni). 



" Se a; è un intero (positivo, nullo, negativo), q>iX e 

 la somma dei valori di qpo, corrispondenti a valori della va- 

 riabile precedente x ,. 



Si deduce 



q)iO = A(Pi = (Po. 



Queste equazioni potrebbero essere assunte come definizioni 

 di cpi., e si dedurrebbe l'espressione sommatoria precedente. 

 Pongo poi per definizione di (P2: 



xen.o • <P2^ = 2(cpi, x — Ni), 



cioè (P2X è la somma dei qpi precedenti x. Si può anche ridurre 

 alla forma: 



(P20 = A(P2 = (Pi. 



Si ha: 



a;€n.3.qp2a;=:(a; — l) q)x, 



cioè q)23c, per x positivo, vale la funzione di primo grado x — 1, 

 e per x nullo negativo, qp2a; = 0. 



Similmente, pongo per definizione di qpg: 



rr e n . 3 . qpg a; = 2 (cp2 , ^ — NJ 

 equivalente a 



930 = A(P3 = (P2. 



Si deduce: 



xen .^ .(PiX = (x — 1) (x — 2)/2X(piP, 



cioè q)^x e nullo per a;< 0, e vale la funzione di secondo grado 

 (x — 1) (ic — 2)/2 per x positivo. Quindi (pga; è nullo per tutti 

 i valori di x minori di 3. 



La Scuola Pitagorica (Theone, Diophanto, ecc.) chiamò i 

 numeri (p^ " numeri triangolari „, e i q)^ " numeri piramidali „. 



