PORMDLE SOMMATOKIE 27 



In generale, pongo: 



1. w e Ni . a; e n . . (p,nX = 2 ((Pm-i , « — N). 



Ricavo : 



2. meNi -0 .(p,„0 = 0. 



3. m € Ni . . A qp^ = (p,„_i . 



E viceversa, dalle 2 e 3 si deduce 1, cioè possono essere 

 assunte per definizione di (p,„. Ne risulta A'"(p„. = cpo, cioè A'"(p„ 

 è nullo per ogni valore diverso da 0, mentre A'"(PmO = l. Si 

 ha pure: 



4. m e Ni . X € n . 3 . (p„,+i x = [x — m)lm X (pmX, 

 che si può anche scrivere : 



(p^^iX = {x — ì){x — 2) ... [x — m)lmlX(px . 



Si ha pure: 



5. w e Ni . a? e m — Ni . 3 . cp^x ^= , 



cioè q>mX è nulla se iC è minore di m. 



q)„ia? è il coefficiente di z'' nello sviluppo di [^/(l — «)]'" 

 secondo le potenze crescenti di z, il quale sviluppo è conver- 

 gente se 3 è frazione propria, positiva o negativa. 



m 



€ No . « e ± e . . [z!{ì — z)Y' = 2 [(cp.^) z'\x, n]. 



L'identità [^'(1 — z)fx[zl{ì — z)]''=lzl{ì — ;2)]"'+", ove si 

 sviluppino i due fattori del primo membro, e si eguaglino i 

 coefficienti di z"'^''. dà luogo a: 



^o^ 



6. m, n € Ni . a, è e n . i^j . 2 [qpm (« + '") X cp,, (ò — r) | r, n] = 



= <Pn,+.. {« + f>)- 



" Se m, n sono interi, positivi, e se «, b sono numeri in- 

 teri, la somma dei prodotti delle cp„j (a -}- r)x (p„ {b — r) va- 

 riando r ed assumendo tutti i valori interi, vale cpm+n (« + è) »• 



Diremo la funzione epa? " fattore di discontinuità „ perchè 

 ha qui una funzione analoga al fattore che ha questo nome in 

 calcolo integrale. Si ha cioè: 



7. a, ben . a<ib .fé qFn .^ . 



2 (/■, a-b) = 2 [{fx) q>{x — a ^ì)q>ib-i~ ì — x)\x, ni 



