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cioè la somma di f estesa fra i limiti a e b vale la somma 

 di fx moltiplicata per una funzione che è nulla per i valori 

 di x<ia. e per una funzione che è nulla per x^b, e che 

 fra a e b vale 1 ; questa somma è estesa a tutti i valori interi 

 di a;, da — 00 a -(- 00. 



I numeri qp^a? diconsi " numeri figurati „. Essi sono i coef- 

 ficienti binomiali disposti in altro ordine; ed hanno numerose 

 altre proprietà. Qui ci limitiamo a quelle di cui faremo uso. 



§ 4. — Formula sommatoria colle ordinate estreme. 



Si ha: 



1. a,ben.a<Cb.fe (qFn) integr. gradf<i 2.3. 

 2 (/•, a-'b) = (è - a + 1) (fa + Z"^) 2. 



" Siano a e b due interi (con segno), e a sia minore di b. 

 Sia f una successione di quantità, cioè una quantità funzione 

 degli interi, e questa funzione sia intera, e il suo grado sia 

 minore di 2. Altrimenti detto, supponiamo che le quantità 

 fa, f{a-\-l), f{a-\-2)... siano in progressione aritmetica. Al- 

 lora la somma dei valori di f, ove la variabile assuma tutti i 

 valori interi compresi fra a e b, cioè fa-j-f{a-{-l)-\-...fb 

 vale il loro numero b — a -\- ì moltiplicato per la media dei 

 valori estremi, che dico ordinate estreme, fa ed fb, cioè mol- 

 tiplicato per {fa -\- fb)2 „. 



Questa proposizione si fa rimontare da noi a Pitagora. Si 

 trova pure nel Manuale del Calcolatore Egiziano Ahamesu, di 

 forse 2000 anni a. C. 



Se f e una successione qualunque di valori, pongo: 



Resto /■ = 2 (/", a-b) - {b — a -{- l) {fa -\- fb); 2 . (1) 



Per la regola enunciata nel § 2, questo resto si può ri- 

 durre alla forma : 



ove 



Resto f=^grxA^fr\r, (2) 



gr =z Resto q)2 (a? — r)\x . (3) 



