FORMULE SOMMATORIE 29 



Ora se r è minore di a, (p^i^ — r) =: (x — r — 1] (p [x — ?•) 

 vale X — r — 1 finché x è compreso fra a e b^ a. Quindi la 

 funzione 92 {x — r), essendo x la variabile, è una funzione di 

 primo grado; la formula è esatta, e si ha: 



rea — Ni.o.5rr = 0. (4) 



Si ha che 92 (^ — ^) = , se a? — r << 2 , cioè r^ x — 2 ; 

 ma il massimo valore dì x è b; dunque, se r>6 — 2, (P2 (a? — r) 

 sarà nullo, finche x è compreso nell'intervallo da a e b; e il 

 resto gr sarà nullo: 



reo — 2 + Ni.o.(/r = 0. (5) 



Sia ora r compreso fra a e b — 2, cioè r e a"'{b — 2). 

 Allora 92 i^ — ^)> se x^a, sarà nullo ; perciò 



2 [q)2{x — r)\x,a-b] ^ 2 K (^ — ^) i^?, ò -f 1 —Ni] 



= 2 ((P2 , & + 1 - r - Ni) = (P3 (è + 1 — r). 



^>2 {C' — r) = : quindi 



r e a-{b—2) .3. ^r = (Pg (ò + 1 — r) — (è — a + 1) qpg (è — r)/2 



= {è— r)(è-r— l)/2~(è — a + l)(^. — r— 1)/2 

 =:_{è_r — l)(r + l — a)/2. (6) 



Le formule (4), (5), (6) si possono compendiare nell'unica: 



r e n . . ^r = — (P2 (r + 2 — a) 92 (^ — r)j2. (7) 



Scrivo questo valore di gr nella (2), e tengo conto della (1); 

 ottengo la formula: 



2. a, 6€ n .a<;è . /"e qFn . . 



^{f,a-b) = {b-a + l){fa-^fb)l2 



- (1/2) 2 92 (*• + 2 — a) 92 (b — r) A^fr\r. 



" Siano a e è degli interi, e a <ib, ed f una successione 

 di quantità. Allora la somma dei valori di f, variando la va- 

 riabile fra a e b, vale il loro numero (è — « 4" 1) moltiplicato 

 per la media dei valori estremi, meno la semisomma dei prò- 



