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dotti di cp2 (r -|- è — a) X cp^ {b — r) per le differenze seconde 

 di fr, la somma essendo ottenuta variando r „. 

 Questa sommatoria si può anche scrivere: 



2 [(r + 1 - a) (6 - r — 1) A^fr\r, a"ib — 2)]. 



Questa formula fu data dal prof. Peano (*), dimostrandola 

 per via molto differente. 



Siccome il fattore che moltiplica A^/V nella prop. 2, è 

 costantemente positivo o nullo, si può portare fuori della som- 

 matoria questo A^fx, attribuendovi un valore medio fra quelli 

 che esso assume. Per il § 3, prop. 6, sì ha : 



2 (P2 (^' + 2 — a) (P2 {b — r) ! r = cp4 (* — « + 2). 



Quindi: 



3. Nelle ipotesi della 2. o . 2 (/"• a'-'b) — (b — a -\- 1) (fa -\- fb)l2 

 e _ (è ~ « + 1) (è — a) (è — a — 1) (Medio A^f{a-{b — 2))iì2. 



Se la funzione f e definita non solo per i valori interi, 

 ma per tutti i valori della variabile fra a e è, ed ha le deri- 

 vate prima e seconda, ogni valore medio fra le differenze se- 

 conde è un valore della derivata seconda; quindi, invece di 

 Med A^fa'"{b — 2) si può leggere D^fa^b. 



Esempio. — Vuoisi calcolare la somma dei logaritmi decimali 

 dei numeri da 1000000 a 1001000, cioè 2 Log (1000000- 1001000). 



La formula delle progressioni dice che la somma precedente 

 ha per valore approssimato: 



1001 (Log 1000000 + Log 1001000)/2. 



Per stimare il resto, — 94 (è — a + 2) J)^f{a~b)l2, calcolo 

 D Log X = }ji!x, D^ Log X = — m/ìc^, ove ^ è il modulo dei loga- 

 ritmi decimali = Log e = 0*434... 



(*) Sulle differenze finite, R. Accademia dei Lincei, 21 gennaio 1906, 

 e Formulario, tomo V, pag. 131, Prop. 4"4. 



