FORMDLE SOMMATORIE 33 



Sostituisco nella (1) i valori di A, B, C, D, ed ottengo: 



2 {f, a"'b) = — {b + l — a){b - a — 6)/12 X (/"a + /"è) 



+ (ò + 1 - «) (è - a)j\2x{f{a + l)^f{h - 1)). (4) 



Introduco le differenze prime: 

 f[a-{-\)=fa^ù,fa, f(b-l)=^fb-Af{b-ì). 



Il secondo membro della (2) diventa: 

 ib-\-ì — a){fai-fb)i2 — {b + l—a){b~-a)ll2x[Af{b—ì) — Afa]. 



Si ha così il teorema: 



1. a,ben .b^a-\-2 .fé (qFn) integr. grad/"-<4 . o . 

 2 if, a-b) = {b — a^ì){fa + fb)l2 -{b-a+l){b- a)/12 X 

 X[Af{b — l) — Afal 



Essendo ora /' una funzione qualunque, calcolo il resto in 

 questa formula : 



Resto /•= 2 (f, a-b) — {b - a + 1) {fa -\- fb)l2 + 

 + (è — a -f 1) (è - a)/12 X [A /-(è - 1) — Afa]. 



Essendo r un intero, calcolo Resto 94 (a? — r)\x. Se r<C(i, 

 la funzione qp4 (a; — r)\x è nell'intervallo a'"b di 3° grado, 

 quindi : 



r << a . . Resto cp^ (x — r)\x== 0. 



Se r >> è — 4, la funzione 94 {x — r)\x e nell'intervallo cc"b 

 sempre nulla; quindi: 



r >• 6 — 4.3. Resto 94 (x — r)\x = 0. 



Se r € a'"{b — 4), sarà : 



Resto 94 [x — r}\x = ^ [94 {x — r) | x, a-"b] — 



- (è - a H- 1) [94 C^- - r) + 94 (a - r)] + 



+ (è — a + l)(6 — a)/I2x[A94(^'-r — 1) — A94(a— r)]. 



Ora: 



^[<Pd-« — r)\x,a-b] = (p-,{b-\-l—r)—cp^{a — r) = q>,{b-\-l—r), 

 perchè essendo r^a .[) . a — r ^ e 95 (a — r) =0. 



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