34 TIZIANA TERSILLA COMI 



Parimenti qp^ (a — r) = ; A cp^ = 93 , e qps (* — r) = 0. 

 Perciò : 



gr = Resto cp^ (a; — r) | a; = cpg (è -f 1 — r) — [h — a -f 1) ^4 (* — ^') + 

 _|_(è_a + l)(i_a)/12q,3(è-l-r). 



Tutti i termini contengono il fattore (ò — 2 — r){h — 3 — r), 

 che viene moltiplicato per una funzione di secondo grado di r. 

 Questa si può calcolare; e si ha: 



^r = (r — a + 1) (^ — « + 2) (è — 2 — r) (è — 3 — r)/24 



e si può scrivere: 



^r = 93 (^ — « + 3) (P3 (& — 1 — r)/6 , 



ed allora la formula sussiste per ogni valore dell'intero r. 

 Si ha così il teorema: 



2. a,èen . è^aH- 4 ./"eqFn .0 . 



2 {f, a-"h) = (è - a + 1) (/-a + fh)l2 - 



— (è — a + 1) (è — a)/12 X [A /"(è _ 1) _ Afa] + 

 + (1/6) 2 cp3 (r - « + 3) cpg (ò - 1 - r) AVr|r . 



Il fattore qpa (r — a -f- 0) 93 (è — 1 — r) conserva un segno 

 costante (che è il -|-) nell'intervallo a"'{h — 4), ed è nullo fuori 

 dell'intervallo. Perciò nella sommatoria che esprime il resto, si 

 può portare fuori il ù>^fr, attribuendogli un valore medio fra 

 quelli che esso assume in a'"{h — 4) ; osservando poi che per 

 il § 3, prop. 6, 



2(P3(r — 0^+3)93(^-1 — ^•)I^' = qP6(^' — « + 2) 



= (ò — a + 1) {h — a) {h — a — 1) 

 (è — a — 2)(è — a — 3)/120, 

 si trova: 



3. Nella ipotesi della 1.3. 



^(/•.a-è) — (è — a + l)(/-a + /'ò)/2 — (è — a-fl)(6 — a)/12x 

 X[A/"(è — J.)— AZ-a] 

 e(ò— a+l)(è— a)(è— a— l)(ò— a— 2)(i— a— 3)/720x 

 xMedAY(«-(^' — 4)). 



