ESTRAZIONE DELLA RADICE QUADRATA 85 



invece di dividere il resto per 2 volte la radice, propone di 

 dividerlo per 2x radice trovata + 1; le cifre vengono calcolate 

 per difetto, anziché per eccesso. Ma anche questo procedimento 

 spinge il calcolo alla 40^ cifra decimale per ottenerne 20 nella 

 radice. 



Col nome di " estrazione abbreviata di radice quadrata , 

 si indica una regola con cui, conoscendo piìi cifre della radice, 

 se ne possono trovare altrettante, meno una, dividendo il resto 

 pel doppio della radice: 



2. ael^Q.neì^.v=YJa.x=X-^"q\mt{X'"{V3„a—v\2X''v}.:). 



Y,Jaev-\-x — {0-l)X- 



^— 8n 



Cioè: Sia a una quantità maggiore di 1, ed w un numero na- 

 turale. Suppongo di avere calcolato con n cifre decimali la 

 radice di a, e la chiamo v, cioè pongo v=-Y;Ja; dal valore 

 con 3w cifre di a sottraggo v^, e divido questo resto per 2v, 

 calcolando n cifre del quoziente. Per ridurre quest'operazione 

 ad una di aritmetica sui numeri interi, cancello il punto deci- 

 male nel resto, cioè considero X^"(V3„a — v^), e cancello il punto 

 decimale nel divisore, cioè considero (21?) X"; divido il primo di 

 questi interi per il secondo, e ne trovo il quoziente; separo 

 col punto decimale 2n cifre ed avrò x. Allora dico che il valore 

 con 2n cifre decimali dì ^a o e v -{- x, o e v -\- x diminuito di 

 ununità decimale di ordine 2n. 



Così, volendo la radice con 20 cifre decimali di a, si spinge 

 il calcolo fino alla 30* cifra decimale. 



Lo stesso procedimento si trova sotto quest'altra forma: 



Sia V un valore approssimato di Va; sarà allora a v un 

 altro valore approssimato in senso opposto, e la loro media 

 aritmetica {v + a/v)/2 sarà un valore per eccesso e più appros- 

 simato dei precedenti. 



Invero, se v = Vn]/a, sarà: {v -\- alv}l2= v ^ (a — v^)ì{2v) 

 come prima. 



Questo metodo è trattato sotto l'aspetto teorico e storico 

 dal prof. Tanturri, Radice di un numero approssimato ed estra- 

 zione abbreviata della radice quadrata, Torino, " Atti „, 21 maggio 

 1916. e sotto questa forma, o sotto la forma precedente, pare 

 sia stato usato dai matematici greci e indiani (Herone, Bra- 

 magupta, ecc.) nei loro calcoli di radici quadrate. 



