ESTRAZIONE DELLA RADICE QUADRATA 89 



allora x 4- X~* non vi soddisferà piìi, e suppostolo << X"^, cioè 

 a'<99X-*, sarà: 



e siccome i 2 membri sono numeri decimali di ordine 5, sarà 

 anche : 



«<«^' + (2f)X6(^ + X-*). 



Ma il prodotto graduale non supera il prodotto ordinario, onde: 



a<{v-^x + X-*)^ 

 onde: 



Va <v + x^ X-4. (1) 



Se poi a? = 99X~*, sarà x -\ X~* = X~-, e siccome t' = V,Va 

 sarà y» <C t^ -|- X~^, cioè è ancora vera la (1). 

 D'altra parte si ha : 



(2 «;) X5 iP = (2 V + ^) X5 a? perchè xXf,x=^Ì), 



essendo la l'* cifra di x di 3° grado. 

 Dall'identità: 



Vs» = y2 + {2v) X^x -\- l\\a — v^ — {2v) X^^x] 

 ricavo : 



Y^a = v^-\- {2v -h x) X^x + [Vsa — t'^ _ [2v) X^x]. 



Ma per una regola dei prodotti graduali si ha : 



(2 V -\- x) X5 X ^{2v -}- x)Xx — (I cifre x) X'^, 

 onde: 



a'^Y^a>v^-\-{2v -\-x)x-\- [Y^a — v^— (2r) X^x—il cìhex) X'^ 

 a>{v-\~xY-\- [V^a — f2 -- (2r) x^ar — (I cifre x)X-^]. 



Ora se : (I cifre x) X~° ^ Vg a — v^ — (2 v) X5 x, che è l'ultimo 

 resto dell'operazione, come nelle ipotesi della prop. 4, sarà: 



onde: 



Va > i' 4- a?. (2) 



