ESTRAZIONE DELLA RADICE QUADRATA 95 



Dimostrazione delle proposizioni 5 e 6. 



Ripetendo il ragionamento già fatto per la dimostrazione 

 delle prop. 3 e 4, si ha : 



Ipotesi della 5 .O.Va<t; + a;H- X"-'. (1) 



Inoltre : 



a>{v-\- xY + [V„.+, a — o^ — i2v) x^.+i x — {T cifre x) X''-']. 



Se ora faccio l'ipotesi della 6, la quantità entro parentesi [ ] 

 sarà positiva o nulla, quindi : 



Ipotesi della 6 . ^ . « >> (v -(- a^)2 onde ]'a '^ v -\- x. (2) 



Dalle (1) e (2) segue la prop. 6. 

 In ogni caso si ha: 



aXvi-x — X-'-y^ -f 

 [\V+i_,._,(2i;) X X----^ — I cifre {x — X-^-^ X-^'-']. 



Ora V2r+i-,-.(2i?) = Vr+i_,(2v) ^ 2, perchè « >> 1 e quindi 

 f ^ 1, onde: 



a >(i' + .r — X-'-^^ 4- [2X-'-^— Z cifre [x — X--') X-^-'] 

 aXv~\-x — X--*)2 4- [20 X'-'— I cifre {x — X—')] X-^'"'. 



Ora Z cifre (a? — X"'"') <<; 9s, perchè questo numero ha 

 s cifre che non possono superare 9, quindi: 



a>iv-{- X — X-'-f 4- (20 X'-' — 9s) X-^-'. 



Ora qui tenendo conto dell'ipotesi s <C (20 9) X ~', la quan- 

 tità entro ( ) è > ; perciò : 



aXv~{-x— X — y 

 \/a> V -\-x - X-'-\ (3) 



