98 ALBERTO TAN'TUI.KI 



I tre teoremi d'EuLERo. 



2. — Come primo teorema d'EuLERO si può assumere la 

 semplice formula : 



(3) rr 6 - 1-1 . . 1/n L(l - x'ìlh 2^0] ^ I (D,r^|e, No) ; 



la quale dice che. se x e un numero reale, minore, in valore 

 assoluto, di 1, la funzione fratta 1/(1 — j:')(1 — x^){i—x^]{l — x^)... 

 è uguale alla serie: 



1 -f- D.a; 4 Da^r^ + D^x^ -^ D^x^ -f ... . 



3. — La qual serie dovrà, come la funzione fiatta. con- 

 durre a uno stesso risultato, sia con la moltiplicazione per 1 — x, 

 che con la sostituzione di x^ al posto di x. Abbiamo dunque che: 



l-^DiX-\-D2X^4-T)sX^-\-DiX^-\-... 



cioè, uguagliando i coefficienti di x, x^, x^, j?*, ..., che, in generale: 



(4) « € Ni . . D„ = D„_i -f rest {u — 1,2) De(« 2) . 



Questa formula di riduzione, l'equivalente: 



( Ui = Do 



^^ ^ / h e Ni . . D,„^, = D,, = D,„_i -f D, , 



costituisce il secondo teorema d'EuLERo; e, con la (2), ci dà per: 



Do Di D, D3 D, D5 Do D, Ds D^ D,o Dn D12 D13 D^ D15 .... 



successivamente, i valori : 



112 2 4 4 6 6 10 10 14 14 20 20 26 26 ..., 



