SUL NUMERO DELLE PARTIZIONI d'uN NUMERO, ECC. 99 



il calcolo dei quali " facillime, qiiousque lihuerit, confinuetur „. 

 Esprimere D,^ indipendentemente dai precedenti D, non è, però, 

 altrettanto facile: " attendenti patebit nullo modo exprimi posse „, 

 afferma, anzi, Eulero, con im ragionamento poco persuasivo. 



4. — Riman l'ultimo teorema. Il prodotto infinito (l — x) 

 (1 — x^) {ì — x'^) ... della (3), si sviluppi, perciò, nella serie 

 Co-\- CiX -{- C^x^ -\- CsX^ -\- ..., dove Oq = 1. Dovrà questa, 

 come quel prodotto, riprodursi identicamente, quando vi si 

 muti X in x^, e si moltiplichi poi il risultato per 1 — rr; cioè, 

 identicamente: 



1 +Ci.r2 -{-C,x^ +... 



= 1 + Ci;r + C,x' 4- C,x^ + C,x^ + ... ; 

 e quindi, per ogni numero naturale n : 



^n -^= ( 1) ^E(n/2) • 



Questa formula di riduzione fornisce i coefficienti C; che, 

 secondo Eulero, " non ohtinent legem solito more assi gnabilem „. 

 ma. col simbolo E, sono, fin da Cq, esprimibili così: 



ri __ /- -jy. + E(n/2) + E("/■4)^-• 

 E allora son pure noti i coefficienti della serie Do + Dja? + 

 Da.r^-j-..., che, in virtù della (3), è ricorrente d'ordine infinito, 

 con la scala di relazione, secondo la nomenclatura euleriana: 

 — Ci, — C2, — C3; per l'appunto: 



Dx = -CiDo 



D^^-CiDi-C^Do 



D3 = — C1D2 — C2D1 — C3D0, ecc. 



Scriviamo iu generale, e avremo il terzo teorema d'EuLERO : 

 (.5) n e Ni . . D,. = - 1 1(— If' D„_, | i, Vn] : 



Atti della R. Accademia — Voi. LTV. ' 



