100 ALBERTO TANTURRI 



nel quale, per brevità, si è fatto uso d'un simbolo H, defi- 

 nito dalla: 



(6) « € No . . H« = n + E (w/2} + E (w/4) + ... 



= I ) [E (w/20] h', 0- -E (2Log n) j (*) Def. 



Alcune conseguenze 

 del secondo teorema d' Eulero. 



5. — Il secondo teorema d'EuLERo dà, per es., che Di = Do, 



D7 =: De ; sicché , sommando : D7 = Dq + Di + D2 + D3 . In 

 generale : 



(7) « € Ni . . D. = Do ^ Di + D2 + ... + D,,,^) 



= I[D,l^,0-E(w/2)]; 



e sarà dunque noto D^, quando si conoscano i D con gl'indici 

 da a E {ni 2). 



6. — Basta, anzi, conoscere i D con gl'indici da a E(» 4). 

 Per es., nella: 



D,8 = DoH-Di + D2 4-. H-D^, 



(*) Questo terzo teorema eaprime il fatto che = 1 il prodotto delle 

 serie 1 -\-Dix -{-D^x^ ^ ... e 1 + Cja; + Cga;'^ + ...; e dà, in generale, D» 

 come somma dei precedenti D, presi con segni convenienti: per n dispari, 

 dice soltanto che Dìh+i '=I>2h, per ogni intero h. 



Si noti la formula: 



a; € — 1-1 . . n [(1 — x")|n, 2^0] = I [(_ Ifa;"! «, NJ , 



dove Hn è il numero definito dalla (6); che, per un noto teorema di 

 Legendre, ^=«-1- mp (2, »!), ossia = «+ la massima potenza di 2 che divida 

 il fattoriale di n, anche = mp [2, (2n)!]. Il numero C», che abbiam tro- 

 vato uguale a ( — 1)^", gode di curiose proprietà; e, per es., = -|- 1 

 a — 1, secondoehè n, nel sistema binario di numerazione, si scrive con un 

 numero pari dispari di cifre 1 : la proprietà fondamentale, già scritta in 

 Eulero, è la: — C2h+i = dh = Gh , per ogni intero h. 



