SUL NUMERO DELLE PARTIZIONI d'uN NUMERO, ECC. 103 



riconoscere, ^(^■ + l)™*' numero del {p-\-l)"^° rigo della tabella 

 con cui si ottiene Dj;, è uguale al primo numero dello stesso rigo 

 della tabella con cui si otterrebbe il D con l'indice 2h — ix2'"^^; 

 e ciò nelle ipotesi generali: 



/i e Ni .^ e 0-E [^Log (2/0] . i e 0-E (/i/2'0. 



Si sa già intanto che esso primo numero =1, nel primo rigo; 

 = h-\-l, nel secondo; e, nel terzo, ='E[{hj2 -\-ìY]. Per cal- 

 colarlo nel quarto, sommo i numeri del terzo rigo, cioè gli 

 E {k/2} + 1 numeri : {k + 1)2, {k — l)^, {k — 3)\ ... , ovvero : 

 (A; 4- 1) (A- 4- 2), {k — l)k, (yl- — 3)(A-— 2), ..., secondochè /i = 2A; 

 a 2k -\-l; e avrò, nel primo caso, il numero C(A:-f-3, 3); 

 e, nel secondo, questo stesso numero aumentato di {k -\- 1) -j- 

 {k — l)-{~ik — 3) + ..., cioè di 



]Eikl2) 4-l()El(A; + l)/2]-f 1( (*). 



Concludo che il primo numero del quarto rigo 



= C [E (A/2) + 3, 3] 

 a „ + E [{h + 3)/4] X E [{h -f 5) 4] , 



secondochè h è pari o dispari. 



Altri risultati semplici non è facile ottenere. Si può, certo, 

 scrivere il primo numero del quinto rigo come somma dei già 

 espressi numeri del quarto ; ma non si dispone poi d'una for- 

 mula aritmetica che condensi la somma. Si può anche stabilire 

 una formula che insegua a ottenere un rigo della tabella da 

 uno qualunque dei precedenti: essa è caso particolare della 



(*) 11 simbolo C è l'ordinario simbolo delle combinazioni; dimodoché, 

 per es., C (4, 0) = 1. C (4, 1) =- 4/1, C (4, 2) — (4 x 3)/(l x 2), ecc. Con la formula 

 elementare : 



a; € N, . . .T^ == C (x + 1, 2) + C (:r, 2) , 



si trova che (k + lf-^{k— lf-{-{k — Sf + ... = C (^ + 2, 2) + C (yfc-f 1. 2) + 

 C(^, 2) + C(A; — 1, 2) + ... , cioè =C(t + 3, 8). La somma dei quadrati dei 

 primi X numeri dispari è espressa con x{4:X^ — 1)/3, per es., in Li'cas, 

 Théorie des nonibres, p. 255. 



