SUL NUMERO DELLE PARTIZIONI d'uN NUMERO, ECC. 105 



Un problema più ampio di quello d' Eulero. 



10. — Delle D„ partizioni di n in potenze di 2 , ve n' è 

 sempre una formata da n elementi tutti uguali a 1. Quando 

 w ^ 2, ve n'è poi di quelle che han 2 come elemento massimo; 

 e siano D (2, w) : e, quando w > 4, ve n'è delle altre, e siano 

 D (4, n), che han 4 come elemento massimo : ecc. In generale, 

 indico con D (2^, n) il numero di quelle che han come elemento 

 massimo 2''; precisamente, scrivo la definizione: 



(10) jt) e No . « 6 Ni . . D (2^, n) = 



num I (NoFO-p)n a3 [a^ ~ := . 1 (2'a,|^ Q-p) = n] \ Def. 



E propongo il problema della determinazione del numero D {2^, n). 

 Questo problema è piìi generale di quello euleriano della 

 determinazione di D,, ; perchè, con la formula elementare : 



(11) n6Ni.o.D„=:D(l,w)^D(2,w) + D(4,«) + D(8,7/)-{-... 



= I[D(2\n)U-,0-E(2Logn)], 



il calcolo di D„ si fa mediante quello di alcuni D con due in- 

 dici. Anzi, in ogni caso, mediante quello di uno solo di tali D; 

 in virtù del teorema : 



(12) A e No . ^ e N^ . A < 2^ o . D,„ = D.3,,^, =■- D (2^ 2" + 2h). 



Esso teorema è evidente quando A ^ ; e, quando /» >> 0. è 

 ottenibile osservando che, per es., D^o = D(8, 8 -|- 10), perchè, 

 se aggrego 8 alle partizioni di 10 in potenze di 2, ottengo, 

 per l'appunto, quelle partizioni di 18 in potenze di 2, che han 8 

 come elemento massimo. Il 2^ che si aggrega dev'essere almeno 

 uguale alla massima potenza di 2 che < 2h (*). 



(12'j n, A; € No . : n < 2''~^ . = . D., = D (2\ 2'^ -{- n). 



