106 ALBERTO TANTURRI 



11. — Accanto alla (11) vogliam subito porre la: 



(13) « e 1 + N, . 3 . 1 [(- 1)' D (2', n) | i, 0-E (^Log n}] = 0. 



Considero, infatti, le partizioni di n in potenze di 2. 



Uq) Con D{ì,n) si numerano quelle, e ce n'è una sola, 

 che son formate da tanti 1. 



«i) Di quelle numerate con D (2, n) : «i') alcune, e ce 

 n'è una sola, contengono un solo 2 ; «/') e le altre ne con- 

 tengono più d'uno. 



«2) Di quelle numerate con D (4, n) : a^') alcune conten- 

 gono un solo 4; «2") e le altre ne contengono più d'uno. 



Uk) Pongo, finalmente. A: = E (^Log n) ; dimodoché 

 ^Log « <; ^• -j- 1 , cioè w «< 2'' '. Con D (2*, w) si numerano 

 quelle che contengono un solo 2'', non essendovene di quelle 

 che ne contengono più d'uno. 



Se, per brevità, indico con D«o. Da/ e Da/', Dag' e 

 0^2", ..., Duk, i numeri delle partizioni di cui si parla in ciq, 

 Ui e ai", «2' 6 a2", ..., Ok, ho subito che ciascuno di essi nu- 

 meri è uguale al seguente: e, per es.. Dai" = ^02, come si 

 vede con la sostituzione di un elemento 4 a due elementi 2.» 

 E allora, evidentemente: D(1,m)— D(2,w) + D(4,w) — D(8,w)4-..., 

 cioè : Dao — (Da/ + Da/') + (Da^' + Da^") — ... + (—1)'^ Da,, 

 = 0, come si era asserito. 



Alcune proprietà dei numeri D (2^", n). 



12. — Dalla definizione, immediatamente: 



(14) 2? e No . w e Ni . » < 2^ . D (2", ti) = 



(15) „ . ^.D(2^2-) = l 



(16) , . 0-^ihn) = ì 



(17) „ . „ . 0.D(2^2/^ + l)=D(2^2n); 



quest'ultima perchè le partizioni numerate nel primo membro 

 dell'uguaglianza son quelle numerate nel secondo, con l'aggiunta, 

 in ciascuna, d'un 1. 



