SUL NUMERO DELLE PARTIZIONI d'ON NUMERO, ECC. 107 



13. — Semplicemente si ottiene pure la: 



(18) w,^ € Ni . 0. D (2^ 2" -f n) = D (2^ n) + D {2"-', 2"-' -f- n), 



osservando che, delle partizioni numerate nel primo membro 

 dell'uguaglianza, alcune contengono piìi di un elemento uguale 

 a 2^; e son D (2", n), come si vede sopprimendo, in ciascuna, 

 uno di tali elementi: e le altre ne contengono uno solo: e 

 son D (2''~', 2^~' -}- n), come si vede sostituendo, in ciascuna, 

 quell'elemento con un elemento uguale a 2''"^ 



Questa proprietà si può ritenere come fondamentale. Essa 

 permette di calcolare D (2'', n) per ogni p ed n, partendo dalle 

 (U), (15) e (16). 



14. — Una sua facile conseguenza è la: 



(19) » e Ni . i? € No . . D (2^ 2" ^n) = I. [D {2\ n) \ i, 0"'p] , 



che dà il significato della somma della (11) limitata al primo 

 termine, o ai primi due termini, o ai primi tre termini, ecc. 

 Per es. : 



D (1, 18) + D (2, 18) + D (4, 18) + D (8, 18) = D (8, 26) ; 



perchè, applicando, ripetutamente, la (18): 



D(8,26) = D(8,18) + D(4,22)==D(8, 18) + D(4,18) + D(2,20) 

 = „ -f-D(4,18) + D(2,18)-[-D(l,19); 



e D(l, 19) = D(1, 18). 



Ma la (18) si può applicare, ripetutamente, anche cosi: 



D(8,26)^D(4,22)-fD(8,18) = D(4,22)+D(4,14)+D(8,10) = 

 = D (4, 22) + D (4, 14) + D (4, 6). 



In generale, si ha la formula : 



(20) /?,j9 e Ni. 0.0(2^,2" + 2/?) = 



I [D (2"-', 2"-' + 2/i — «x 2") I i, 0-E (^'2""^)] ; 



che esprime D (2'', 2'' + 2 A) mediante tanti I){2^~\n) quanti 

 sono i 2''~'-|-2/i — NoX2^ non minori di 2^"^; cioè quanti 

 sono gli No non maggiori di 2h;2''. 



