SUL NUMERO DELLE PARTIZIONI D UN NUMERO, ECC. 109 



(26) /^eNo.o.D(8,8 + 2/0 = C[E(/i/2) + 3,3] + 



rest {h, 2) X E [{h + 3) 4] x E [(/< -^ o)/4] . 



(27) „ . 0. D (1 6, 16 4- 2/?) = espress, a;, ovvero è;, del n° 9. 



(28) „ .o.D (82,32 +2A)= „ e) , „ (*). 



Serie che han per coefficienti i numeri D (2^ 2^ -\- n). 



17. — •" Se a? è un numero reale, minore, in valore as- 

 soluto, di 1, e se p è un numero intero, la funzione fratta 

 lì{l —x) {\—x^)[\~x^) ...{\—x\^2^) è uguale alla serie 

 D (2", 2^) + D (2^ 2"+l)a;-f-D (2", 2" f 2)aj2-f D (2^ 2^^^)x^^... „. 



In simboli : 



(29) a; € — 1-1 . p e No . . 1 H [(1 — a;") i w. 2^-P] = 



I[D(2'', 2^^-j- w)a;"in, No]. 



Si può dimostrare per induzione rispetto a ^, tenendo conto 

 della (20); ovvero, quando /9>0, moltiplicando le serie assolu- 

 mente convergenti nelle quali si sviluppano le funzioni fratte 

 1/(1— a-), 1 (l—a;2), ..., 1/(1 — a;h2'), e tenendo poi conto della(19). 



(24'j « € N, . . D (2, «) -= E (m/2) 



(25') , . . D (4, «) = E (m/4) X E («/4 + 1/2) = 



E ) [E («/2)P/4 ( = , X [E (m;2) - E («/4)] 

 (260 « € N, . gì -= E {nm . 92 = E («/4) . ^3 = E («/8) . . 



D (8, n) = gì q.3 qs — g, 5-3^ — 92"^ 93 + C (2^3 -r 1, 3). 

 (A) «6N,.0.D(4,m4-2) — D(4,») = E(«/4 + l/2) 



D(8, n + 2) - D (8, n) = E (m/8 + 3,4) x E (m/8 + 1, 4) 

 D(8,« + 4)- „ =E[(M4-3)/4]x)«-2E[(n-l)/4](. 

 D(4,2m) + D(4,2u+2) = m(m + l)/2 

 D(4,M +1' — D(4,M) = rest(M, 2)xE[(M-f l)/4] 

 ^ , =E(«-2/8) 



Si noti dunque il teorema d'aritmetica: 



M 6 Nn . . E («/4) X E [(« f 2), 4] + E [(« -|- 1 )/4] x E [(m + 3) /4] = E (n^S). 



La serie: 1, 2. 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18,21, 24, ... dei numeri: D(4, M)^- 

 D(4, m+I), quando « = 3,4,5,6,7,..., si rappresenta, in una prima ri- 

 cerca, con l'espressione: q{n — 2q), dove 9 = E [(m -]- l)/4]; espressione che, 

 perciò c=E(«2/8). 



