110 ALBERTO TANTUKRI — SUL NUMERO DELLE PARTIZIONI, ECC. 



18. — E allora, nella stessa ipotesi per a?, si consideri la 

 serie doppia: 



l-fD(l,l)^ + 



+ D(l,2)a;2+D(l,3)a;3-fD(l,4)a;*-|-D(l,5)a;5+...+D(l,8)a;«+., 

 + D(2,2):r2+D(2,3)a;'-fD(2,4):K*+D{2,5)a;5+...-fD(2,8)a;8+., 



+ D(4,4):r*+D(4,5)a;5+...+D(4,8)x8+., 



4-D(8,8):r8+., 



Sommando per orizzontali, si ha la serie : 



a) l-\-xj{l—x)-\-x^lil—x) (1— a;2)-[-a;^/(l— x) (l—x^) (1— a;*)+..., 



che è assolutamente convergente, come si può vedere appli- 

 cando il criterio del rapporto di un termine al precedente alla 

 serie dei valori assoluti. Sommando per verticali, e tenendo 

 conto della (11), si ha la serie: Dq -\-I)iX -^'D2X^ -\- ..., cioè 

 la serie della (3), pure assolutamente convergente. Dunque: 



(30) ,2; e — 1-1 . . 1, n [(1 — «') I i, 2^0] = 1 + 



I (I a; h 2"iU [(1 •— a;™) : w, 2^"p] ( | p, No) ; 



cioè: " se a; è un numero reale, minore, in valore assoluto, 

 di 1, la funzione fratta 1,(1^ — x) (1 — x^) {^ — x'^) ... è uguale 

 alla serie a) „. 



19. — L'identico procedimento, applicato alla stessa serie 

 doppia, nella quale, però, le orizzontali si seguano con segni 

 alterni, ci dà, in virtù della (13), e dopo semplici riduzioni : 



(31) :r e -1-1.0. 



= 11(1— x) — xl{l — x) {l — x^) -j- x^j{ì — x) {ì — x^) [l — x^) — ... 

 =:I()(-l)"a.h(2''-l)/n[(l-a:"')!m,20--i'l(|,No). 



