SUL CARATTERE INVARIANTIVO DI CERTI OPERATORI, ECC. 165 



Dalla (40), col tener presente la espressione (37) per la Q, 

 deduciamo poi l'altro enunciato : 



(II) Il gradiente della funzione scalare U rispetto alla forma- 

 zione Q d'ordine p, riferita alla piramide T' supplementare della T 

 uguaglia il gradiente normale della U moltiplicato per la potenza 

 di esponente 1 + p — n del prodotto dei vertice di T. 



d) Si noti che, dalle (4), dopo aver osservato che è 



(ci 62 ... e„+i/e'i e^ ... e;.+i) = 2 ± (ei/c'i) [ujQ ... (e„+i/en+i), 



risulta essere Z)/e'i e'j ... el+i = i>""^^ ; e quindi 



(44) /e'i e; ... e,',4.i = D", ovvero e'i 62 ... e^+i = D" = D' , 



formula che può ritenersi inclusa nella (7) che è più generale 

 [e, conseguentemente, nella (9')] quando si osservi che per 

 p z^ fi -\-\, nella (7) il fattore 2 + %,ti ••• ^Op-r.' va sostituito 

 dall'unità [e, conseguentemente, la (9') va resa valida, per tal 

 valore di p, assumendo convenzionalmente che il coefficiente 

 di et, e<, ... et^ diventi 1], e che ]x = ^s ^ "21 =^ {n -\- l) [n -]- 2) 

 è un numero pari; [osservando, inoltre, che per p = w + 1, sia 

 la ti ti ... ^„.f.i cke la s, Sa ••■ s,,^! diventano entrambe la permuta- 

 zione principale 1, 2, ..., w -[- !]• 



Per la (44) e pel precedente enunciato (1), il gradiente 

 quale risulta dall'enunciato (11) viene pure eguale al gradiente 

 normale moltiplicato per {D')o = {D'^)Q ; ed i due risultati non 

 sono contraddittorii, poiché nella considerazione della T', la T 

 interviene, in uno alla formazione (43), coi suoi p-spigoli, non 

 direttamente, ma quali supplementi degli (n -j- 1 — p)-spigoli 

 della T'. Siccome nella costruzione della T' per mezzo delle 

 formule (2), (3) abbiamo lasciata arbitraria la scelta dei moduli, 

 introducendo la limitazione che risulta dallo scegliere, nelle (3), 

 al posto dei coefficienti E^, E/n, ..., jE'ì,„+i {i = 1, 2, ..., n -\- 1), 

 non i minori complementari degli elementi del determinante IJ, 

 ma tali minori divisi per I), avremmo avuto risultati comba- 

 cianti. 



A complemento degli enunciati (I) e (II) la (41) fornisce, 

 intanto, quest'altro : 



(III) Il gradiente della funzione scalare U, rispetto alla for- 

 mazione Q riferita alla piramide T uguaglia il gradiente della U, 



