172 GUSTAVO SANNIA 



è sommabile {B, r) (cioè col metodo di Borei di ordine r) quando 

 è una trascendente intera la serie associata di ordine r 



(2) ^^"M«,^)=2""+-(''^^(') 



ed è convergente ['integrale associato di ordine r 



(3) r e-'' ìi}''^ [a, x) da.. 



Jo 



Allora la somma della serie è il numero 



(4) u {x) = U,_, {x) + re-'' lé'^ {a,x)da, 



Jo 

 ove 



{5j Ur^i =^0 se /• < , U,._i (x) = Uq (x) -f- ... + w^-i (x) se r>>0. 



2. — La (1) può essere sommabile {B, r) in tutto l'inter- 

 vallo {a, b) ; dirò che lo è uniformemente quando : 



A) qualunque sia m > 0, la serie (2) (di funzioni delle 

 due variabili a e x) e convergente uniformemente nel campo 



(6) 0<a<m, a^x^b, 



B) e l'integrale (3) è convergente uniformemente in 

 (a, b) (^). 



(*) Al parametro a vanno attribuiti soltanto valori positivi, zero in- 

 cluso. L'intero r può anche essere negativo: in tal caso si porrà, per con- 

 venzione, tin+r (x) = se n 4- r < (L', n° 1). 



(^) Introduco questa definizione, perchè allora (come vedremo) tutti i 

 più noti teoremi sulle serie convergenti uniformemente seguitano a sussi- 

 stere quando alla convei-genza (o souimabilità ordinaria) vien sostituita la 

 sommabilità {B, r). 



Essa è alquanto diversa da quella che assunsi nella Nota L, dove, 

 invece della condizione A) posi la seguente (meno restrittiva): 



A') per ogni a > fissato, la serie (2) di funzioni della sola x sia con- 

 vergente uniformemente in {a, b). 



E con questa definizione della sommabilità (B, r) uniforme dimostrai 

 i teoremi del n° 3 della presente Nota. 



Così operando, non feci che estendere (salvo la nomenclatura) teoremi 

 e dimostrazioni già dati da C. H. Hardy (in Trana. of the Cambridge Phìl. 



