SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 173 



Il concetto di serie sommabile {B, r) uniformemente è esten- 

 sione del concetto di serie convergente uniformemente, perchè: 



Se una serie (1) di funzioni limitate in un intervallo (a, b) 

 è ivi convergente uniformemente ed ha per somma u(x), è pure 

 sommabile (B, r) uniformemente (qualunque sia r) ed ha ugual 

 somma (^). 



Soc, t. XIX. 1904, p. 297) sulle serie (1) interpretate col metodo originario 

 di BoREL, e riportati in seguito dal Bromwich nel n° 109 del suo trattato 

 An introduction to the theory of infinite series e poi dal Ford nel n" 43 del 

 suo trattato Studies on divergent series and sommahility (editi da Macmillan 

 and Co., London-New York, rispett. nel 1908 e 1916). 



Orbene tutte queste dimostrazioni non sono soddisfacenti, perchè fon- 

 date essenzialmente su due teoremi enunciati dal Bromwich (loc. cit., n" 172) 



e poco esatti: se in un integrale del tipo f(x, yjdx, uniformemente con 



vergente nell'intervallo (a, p), l'integrando è funzione continua di y per ogni 

 x> a, 1°) l'integrale è funzione continua di y in (a, 8), 2°) e lo si pnò inte- 

 grare rispetto a y sotto il segno di integrazione in ogni intervallo contenuto 

 in (a, 3). 



Essi diventano certamente esatti se, nell'ipotesi, alla continuità par- 

 ziale di f (x, y) rispetto a j si sostituisce quella totale in ogni punto {x, tj) 

 al finito del campo n <x, a < y < 3. 



Appunto per assicurare la continuità totale all'integrando di (3), è 

 opportuno sostituire la condizione A) alla A'). Cfr. (^). 



(®) Il teorema è stato già dimostrato in L (n° 3) con la definizione di 

 sommabilità [B, r) uniforme ivi adottata. Rimane dunque a dimostrare sol- 

 tanto che una serie (1) di funzioni limitate in (a, b) che ivi sia uniforme- 

 mente convergente soddisfa la condizione A) del n° 2. Cfr. (*). 



Fissato ad arbitrio un numero w > 0, sia a un numero dell'inter- 

 vallo (0,w). Allora si ha al{n-\-p)<C 1 {p = \,2, ...) per ogni intero h> /« — 1, 

 quindi la successione a"/w!, a"+V(« + l)!, a"+^/(rt -(- 2)!, ... è decrescente. 

 Allora, per un noto lemma di Abel, possiamo asserire che, per ogni intero 

 positivo jo, si ha 



I a" a"+^ 1 a" >w" 



(a) Un+ r{x)—j-\-...-\- U»+,+p {x) \ <^ —- E {x)< —y H [x] , 



I ni [n -\- p)\ \ n\ n\ 



ove H{x) è la massima delle quantità 



(6) tln+r{x), Un-\-r{x) + Un+r-\-\{x), ..., U„^,-[x) + ... -f- Un-\-T+p{x) 



per ciascun valore x di («, h). 



D'altra parte, poiché l'I) è convergente uniformemente in («,?>), dato e^O, 



