174 GUSTAVO SANNIA 



3. — I. Se una, serie (1) di funzioni continue in un inter- 

 vallo (a, b) è ivi sommabile (B. r) uniformemente, la sua somma u(x) 

 è funzione continua in (a, b). 



Griusta l'ipotesi, la serie (2) soddisfa la condizione A) del 

 n" 2 ; ora, poiché i suoi termini sono funzioni continue in tntti 

 i punti (a, x) del campo (6) C'). ne segue che anche la somma 

 m''"' (a, x) è funzione continna in tal campo ; anzi, essendo m 

 (contenuto nella condizione A)) arbitrario, questa funzione, e 

 quindi anche l'integrando di (3), è funzione continua in ogni 

 punto al finito (a, a;) del campo: 0<a, a<a;<è {^). 



Da ciò e dal fatto che, giusta l'ipotesi, l'integrale (3) sod- 

 disfa la condizione B) del n° 2, segue che l'integrale stesso è 

 funzione continua di x in (a, h). 



Poiché infine anche Ur^i {x) (5) è funzione continua, tale 

 sarà pure la somma u{x) (6) della (1). 



II. Se una serie (1) di funzioni continue in un intervallo (a, b) 

 è ivi sommabile (B, i) uniformemente ed ha per somma u (x), gli 



esiste un intero positivo n indipendentp da x (e che supporremo non mi- 

 nore di m — 1) tale che si abbia 



per ogni intero positivo q ed ogni x di (a, h). Or dunque le quantità (6), 

 e quindi anche H{x), non possono superare e~"' e per ogni x di («, 6), e 

 perciò dalla (a) segue che 



a" a"+'' i m" 



n ! (n + p)] ni 



per ogni intero p>0 ed ogni punto {a. x) del campo (6). 

 Dunque la condizione A) del n® 2 è .soddisfatta. 



a" 

 ('') Essendo Un+r{x) continua in (a,b) e — r continua in (0, m), il loro 



n! 



prodotto è funzione continua nel campo (6) (e non solo parzialmente ri- 

 spetto ad X o ad a), poiché il suo limite (doppio) in un punto (Oq, Xq) del 



campo e Un-i-r(xQJ — y. 

 n ! 



(*) Se in luogo della A) la (2) soddisfacesse la condizione A') della 

 nota (^), ne seguirebbe soltanto che la somma «''"'(a, a:), e quindi l'inte- 

 grando di (3), sarebbe funzione continua rispetto ad x in (a, h) per ogni 

 valore fissato di a. 



