SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 175 



integrali dei suoi ter unni tra i limiti a. e h formano una serie 

 sommabile (B, r) che ha per somma l'analogo integrale di u(x) (^). 

 III. Se una serie (1) di funzioni aventi derivata continua in 

 mi intervallo (a, b) è sommabile (B, r) nell'intervallo (^°) e se la 

 serie delle derivate 



00 



(1 ') MÓ (a-) + U[ (X) + . .. = 2] «« (^) 



è ivi sommabile (B, r) uniformemente, la somma w.' (x) della (1)' 

 è la derivata della somma u (x) della (1). 



Per le ipotesi fahte sulla (1)'. ad essa è applicabile il teo- 

 rema II (ove si ponga ò = a;) che dà 



00 00 



u [x) dx ^''2_,\ ^n (^) dx = 2. [''« {x) — Un (a)] , 



M^O w=0 



ove la serie è sommabile [B, r) per ogni x di [a, b). Ma per 

 ipotesi J^Un{a) è sommabile {B,r) ed ha per somma «(a); 

 dunque, sommando le due serie termine a termine, si ha (L', n° 3) 

 che la (1) è sommabile [B, r) in («, b) ed ha per somma 



u {x) -=^ u {x) dx Ar u [n) . 



Da ciò segue che u' (x) è la derivata di u (x), poiché, per 

 il teorema I applicato alla (1)', u' {x) è funzione continua 

 in {a. b). 



4. — Le definizioni ed i teoremi precedenti si estendono 

 alle serie di funzioni di piìi variabili reali. Tralasciando questa 

 facile estensione, passiamo a dimostrare un teorema che gene- 

 ralizza il noto teorema di Harnach sulle serie di funzioni ar- 

 moniche. 



n Dimostreremo più innanzi (n° 6) un teorema più generale. 

 ('''j E basta che tale sia in un punto (p. es. x = a) dell'intervallo, 

 come risulterà dalla dimostrazione. 



